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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 29: O ponto alto das derivadasDerivada de sen(ln(x²))
Neste vídeo, calculamos a derivada de sen(ln(x²)) aplicando a regra da cadeia duas vezes. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos tirar a derivada do seno do logaritmo de x². Você pode pensar que a função f(x)
é igual ao sen x, a função g(x) é igual ao logaritmo de x e a função h(x) é igual a x². Portanto você está tirando a derivada d/dx de quem? De f(g(h(x))). Na realidade é uma função triplamente composta. Como nós podemos fazer isso através da regra da cadeia
sem complicar pela regra da cadeia? Ou seja, conseguir fazer de cabeça? Em primeiro lugar você tira a derivada do seno
em relação a qualquer coisa. Então vai ser cosseno de qualquer coisa, ou seja, o cosseno do logaritmo natural de x². Isso daqui é na realidade o f' de quem? De g(h(x)). Então você tirou a primeira derivada. Agora vamos tirar a derivada do logaritmo de qualquer coisa, ou seja, o logaritmo de qualquer coisa
em função daquela coisa fica sendo 1 sobre x². Isso nada mais é do que g'(h(x)). Finalmente vamos tirar a derivada de x² em função de x.
Então fica fácil. A derivada de x² em função de x vai ser 2x, ou seja, nesse caso agora pegamos só h'(x). É interessante notar que esta parte,
que é a parte concreta, se relaciona exatamente a essa parte,
que é a nossa parte abstrata. Esse segundo termo, que é a parte concreta,
se refere a essa parte, que é a parte abstrata, enquanto que o terceiro termo, que é a parte concreta,
se refere à parte abstrata. Dessa forma temos que x
podemos cancelar com x² e temos 2 sobre x cosseno do logaritmo natural de x²
como sendo a nossa derivada. Você poderia pensar em derivar
o seno de logaritmo natural de x² em relação ao logaritmo natural de x². Agora derivamos o logaritmo natural de x²
em relação a d(x²). Finalmente derivamos d(x²) em relação a x. Verifique que isso não é uma simplificação algébrica. Significa que se essa variável está variando com essa, esta está variando em relação a essa e essa tem uma taxa de variação a essa, esta primeira tem uma taxa de variação em relação à última, mas não podemos queimar etapas
e simplesmente derivar esta primeira função em relação a x. Nós temos que aplicar a regra da cadeia, ou seja, nós derivamos a primeira em relação a toda essa função que você não precisa saber qual é, ou seja, ela fica totalmente integral aqui, depois derivamos a segunda em relação a essa função
que está aqui dentro e que você não precisa saber qual é e finalmente derivamos a terceira em relação a x. Então fica a derivada da primeira em relação a g(h(x)) vezes a derivada da segunda em relação à terceira vezes a derivada da terceira e com isso nós obtemos a derivada
pela regra da cadeia que você pode fazer de cabeça. Você pode fazer seno de qualquer coisa
como cosseno de qualquer coisa. Depois o logaritmo de qualquer coisa
você vai fazer um sobre essa qualquer coisa. Finalmente você tem x² que depende de x, então você deriva em relação a x. Desta forma você consegue derivar rapidamente
utilizando a regra da cadeia passo a passo, podendo fazer na sua cabeça
sem fazer da maneira mais complexa.