Derivadas de sen(x), cos(x), tan(x), eˣ e ln(x)

RKA4JL - Vamos pegar algumas derivadas trigonométricas mais comuns e algumas derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, observando no gráfico o que está acontecendo. Vamos pegar a derivada do seno de x, vamos pegar derivada do cosseno de x, vamos pegar a derivada da tangente de x, vamos pegar a derivada de e elevado a x e vamos pegar a derivada do logaritmo natural do módulo de x. A derivada do sen x é cos x, a derivada do cos x vai ser -sen x, a derivada da tan x será 1 sobre (cos² x), ou a sec²x, a derivada de eˣ é muito interessante porque é o próprio eˣ e a derivada do logaritmo natural do módulo de x é 1 sobre x, ou x⁻¹. 1/x e x⁻¹ são interessantes porque aqui existe uma lacuna na regra do expoente. Se quiséssemos integrar, nós teríamos que somar 1 no expoente e dividir por 1 menos 1, que seria zero, ou seja, é interessante que a integral de 1/x vai ser o logaritmo natural do módulo de x. Agora vamos ver graficamente o que está acontecendo com cada uma dessas funções. Vamos ver essa primeira função, a derivada do sen x igual ao cos x. Nós temos aqui em roxo sen x e temos em vermelho a sua derivada, que é cos x. Verifique que a inclinação de sen x, quando x está próximo de zero, vale 1 e, realmente, sua derivada vale 1. Aqui nós temos a derivada. Quando ela for zero, significa que a função não tem inclinação nenhuma, é zero. Antes dela, é positivo, portanto ela tem a inclinação positiva, a função tem a inclinação positiva, depois desse ponto ela é negativa, sua derivada é negativa, portanto ela tem uma inclinação negativa. Vamos ver a outra função. Vamos ver agora em roxo o cos x e em vermelho sua derivada. Então nós temos que agora o cos x é a nossa função e a derivada é -sen x. Verifique que quando a sua derivada é zero, sua inclinação é zero. Aqui, quando a derivada é positiva, a inclinação da função é positiva e quando a derivada é negativa, a inclinação é negativa. Até que ela passe por esse ponto, a função passa por um ponto cuja inclinação é -1. Realmente aqui vamos ter o valor -1 como inclinação. Vamos ver a próxima função. A nossa função é a tangente e ela se comporta dessa forma. Aqui a inclinação é 1, então temos que a sec² vai valer 1. A partir daqui, isso é nossa derivada, então a derivada antes e depois é sempre positiva. Realmente a inclinação da tangente é sempre positiva. Então é a sec² e ela é sempre positiva. Vamos ver agora a função eˣ. Na função eˣ, a sua derivada é o próprio eˣ, ou seja, a função que está em roxo se confunde com sua derivada que está em vermelho. Isso significa que em qualquer ponto a inclinação dessa curva é igual ao valor da própria curva. Por exemplo, quando x for zero, e⁰ é 1, o que significa que nesse ponto a inclinação dessa curva vale 1. Quando x for 1, a função vai valer e¹ , ou seja, essa inclinação vai ser uma inclinação exatamente igual ao valor da função. Quando x tende a menos infinito, a inclinação é próxima de zero, então o valor da função é próximo de zero e a inclinação também é próxima de zero. Essa é uma função bem interessante. Vamos ver, agora, a função do logaritmo do módulo de x. Nós temos aqui em roxo a função logaritmo do módulo de x e temos em vermelho 1/x. Então verificamos que a derivada aqui é negativa. Realmente, a função logarítmica do módulo de x é sempre inclinada para baixo enquanto ela está no lado negativo. Do lado positivo, 1/x sempre é positivo, então a inclinação do logaritmo é sempre positiva. Verifique que à medida que x vai crescendo, sua inclinação vai diminuindo. Realmente, a função logarítmica de x vai diminuindo sua inclinação. Aqui, da mesma forma: quando tende a menos infinito você vai ter uma inclinação cada vez mais próxima de zero, ou seja, a inclinação da função logarítmica do módulo de x vai tendendo a zero. Com isso nós verificamos o comportamento das principais funções trigonométricas e exponenciais.