If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Derivada de 2ˣ (antigo)

Um vídeo mais antigo no qual calculamos a derivada de 2ˣ usando a derivada de eˣ e a regra da cadeia. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

Vamos ver se podemos tomar a derivada com relação a x de dois elevado à potência x. Talvez você diga "Espere aí -- sabemos como tomar a derivada de e elevado a x. Mas e no caso de uma base, como base dois? Não sabemos o que fazer com dois." A chave aqui é reescrever dois elevado a x como se fosse essencialmente e elevado a alguma potência. A chave aqui é reescrever dois. Como podemos reescrever dois de forma que seja e a alguma potência? Pensemos no que e elevado ao log natural de dois possa ser O log natural de dois é a potência necessária para elevar e e obter dois. Se elevarmos e àquela potência vamos obter dois. Portanto, ao invés de escrever dois elevado a x, reescrevemos isto como e. Poderíamos reescrever dois como e elevado ao log natural de 2, e então elevar isto à potência x. Isto é a potência x em amarelo. E isto é a potência x em amarelo. Vamos fazer isto bem aqui. Ao invés de tomar a derivada com relação a x de dois elevado a x, vamos tomar a derivada com relação a x exatamente da mesma expressão reescrita, de e ao log natural de dois elevado à potência x. Vou colocar este x na mesma cor, dx. Sabemos que pela regra de exponentes, se elevarmos algo a alguma potência, e então elevar aquilo à outra potência, podemos tomar o produto das duas potências. Vou reescrever isto só para lembrar. Se eu tenho a elevado a b, e elevo isto à potência c, Isto é exatamente a mesma coisa que a elevado a b vezes c. Portanto podemos usar esta propriedade de expoentes para reescrever isto como sendo igual à derivada com relação a x de e elevado ao log natural de dois vezes x. e elevado ao log natural de dois vezes x. O que é bacana sobre isto é que agora obtivemos isto numa forma de e elevado a algo. Portanto podemos usar a regra da cadeia para avaliar isto. Então esta derivada vai ser igual à derivada de e elevado a algo com relação àquele algo. A derivada de e elevado a algo, com relação àquele mesmo algo é apenas e elevado àquele algo. Portanto vai ser igual a e elevado ao log natural de dois vezes x. Quero deixar claro o que eu fiz aqui. Isto bem aqui é a derivada de e elevado ao log natural de dois vezes x com relação ao log natural de dois -- quero deixar mais claro -- com relação ao log natural de dois vezes x. Portanto tomamos a derivada de e elevado a algo com relação àquele algo -- que é isto bem aqui. É apenas e elevado a algo. E aí vamos multiplicar isto por -- isto é apenas uma aplicação da regra da cadeia, da derivada daquele algo com relação a x. A derivada do log natural de dois vezes x com relação a x vai apenas ser o log natural de dois. Isto vai ser log natural de dois. A derivada de a vezes x vai simplesmente ser igual a a. Este é apenas o coeficiente no x. E para deixar bem claro, esta é a derivada do log natural de dois vezes x com relação a x. Praticamente terminamos mas podemos simplificar isto ainda mais. Esta coisa bem aqui pode ser reescrita E vou desenhar uma linha aqui para deixar claro que este sinal de igualdade é uma continuação do que eu fiz aqui em cima. Mas este e ao log natural de 2x, podemos reescrever, usando a mesma propriedade de expoentes, como e elevado ao log natural de dois, e tudo isso elevado à potência x. E claro, estamos multiplicando-o pelo log natural de dois, -- vezes o log natural de dois. Bem, o que é e elevado ao log natural de dois? Bem, já calculamos isto. É exatamente igual a dois. Isto aqui é igual a dois. Agora podemos simplificar. Esta coisa toda, a derivada de dois elevado a x, é igual a -- e vou mudar a ordem um pouco -- é o log natural de dois, que é esta parte bem aqui, vezes dois elevado a x. Ou poderíamos escrever dois elevado a x vezes o log natural de dois. Legendado por; [Marcia Yu]