Derivada de 2ˣ (antigo)

Vamos ver se podemos tomar a derivada com relação a x de dois elevado à potência x. Talvez você diga "Espere aí -- sabemos como tomar a derivada de e elevado a x. Mas e no caso de uma base, como base dois? Não sabemos o que fazer com dois." A chave aqui é reescrever dois elevado a x como se fosse essencialmente e elevado a alguma potência. A chave aqui é reescrever dois. Como podemos reescrever dois de forma que seja e a alguma potência? Pensemos no que e elevado ao log natural de dois possa ser O log natural de dois é a potência necessária para elevar e e obter dois. Se elevarmos e àquela potência vamos obter dois. Portanto, ao invés de escrever dois elevado a x, reescrevemos isto como e. Poderíamos reescrever dois como e elevado ao log natural de 2, e então elevar isto à potência x. Isto é a potência x em amarelo. E isto é a potência x em amarelo. Vamos fazer isto bem aqui. Ao invés de tomar a derivada com relação a x de dois elevado a x, vamos tomar a derivada com relação a x exatamente da mesma expressão reescrita, de e ao log natural de dois elevado à potência x. Vou colocar este x na mesma cor, dx. Sabemos que pela regra de exponentes, se elevarmos algo a alguma potência, e então elevar aquilo à outra potência, podemos tomar o produto das duas potências. Vou reescrever isto só para lembrar. Se eu tenho a elevado a b, e elevo isto à potência c, Isto é exatamente a mesma coisa que a elevado a b vezes c. Portanto podemos usar esta propriedade de expoentes para reescrever isto como sendo igual à derivada com relação a x de e elevado ao log natural de dois vezes x. e elevado ao log natural de dois vezes x. O que é bacana sobre isto é que agora obtivemos isto numa forma de e elevado a algo. Portanto podemos usar a regra da cadeia para avaliar isto. Então esta derivada vai ser igual à derivada de e elevado a algo com relação àquele algo. A derivada de e elevado a algo, com relação àquele mesmo algo é apenas e elevado àquele algo. Portanto vai ser igual a e elevado ao log natural de dois vezes x. Quero deixar claro o que eu fiz aqui. Isto bem aqui é a derivada de e elevado ao log natural de dois vezes x com relação ao log natural de dois -- quero deixar mais claro -- com relação ao log natural de dois vezes x. Portanto tomamos a derivada de e elevado a algo com relação àquele algo -- que é isto bem aqui. É apenas e elevado a algo. E aí vamos multiplicar isto por -- isto é apenas uma aplicação da regra da cadeia, da derivada daquele algo com relação a x. A derivada do log natural de dois vezes x com relação a x vai apenas ser o log natural de dois. Isto vai ser log natural de dois. A derivada de a vezes x vai simplesmente ser igual a a. Este é apenas o coeficiente no x. E para deixar bem claro, esta é a derivada do log natural de dois vezes x com relação a x. Praticamente terminamos mas podemos simplificar isto ainda mais. Esta coisa bem aqui pode ser reescrita E vou desenhar uma linha aqui para deixar claro que este sinal de igualdade é uma continuação do que eu fiz aqui em cima. Mas este e ao log natural de 2x, podemos reescrever, usando a mesma propriedade de expoentes, como e elevado ao log natural de dois, e tudo isso elevado à potência x. E claro, estamos multiplicando-o pelo log natural de dois, -- vezes o log natural de dois. Bem, o que é e elevado ao log natural de dois? Bem, já calculamos isto. É exatamente igual a dois. Isto aqui é igual a dois. Agora podemos simplificar. Esta coisa toda, a derivada de dois elevado a x, é igual a -- e vou mudar a ordem um pouco -- é o log natural de dois, que é esta parte bem aqui, vezes dois elevado a x. Ou poderíamos escrever dois elevado a x vezes o log natural de dois. Legendado por; [Marcia Yu]