Definição formal e alternativa da derivada

RKA4JL - Hoje nós vamos ver como determinar a derivada através da definição utilizando duas formas diferentes, uma forma mais geral e uma forma particular, ou alternativa. Inicialmente vamos dar uma olhada na nossa forma geral para calcular a derivada pela definição. Vamos supor que você tenha um determinado ponto e que as coordenadas desse ponto sejam (a,f(a)), e que aqui, claro, a gente tenha um gráfico que descreva essa função y igual a f(x). Se você pegar um determinado ponto, como esse aqui, e quiser determinar a inclinação da reta tangente a esse ponto, basta simplesmente determinar a derivada dessa função nesse ponto. O mesmo você pode fazer em qualquer outro ponto ao longo desse gráfico. Você vai determinar a derivada da função naquele ponto, mas a gente consegue estabelecer uma outra função que consegue determinar a inclinação da reta tangente, ou seja, a derivada, em qualquer ponto dessa função, que é o que nós vamos fazer aqui. Para fazer isso, vamos pegar um ponto x, vamos supor que aqui a gente tenha um ponto x. Um ponto x arbitrário qualquer. Sendo assim, aqui a gente vai ter as coordenadas (x,f(x)), certo? Então esse é o nosso ponto (x,f(x)). Vamos supor também que a gente pegue um outro ponto a uma distância h desse x, ou seja, a gente vai fazer uma variação aqui no eixo x, uma variação que seja igual a h. Então esse outro ponto vai estar aqui nessa coordenada (x+h). Então esse ponto aqui tem as coordenadas (x+h, f(x+h)). Então essas são as coordenadas desse ponto. Uma coisa interessante é que se ligar esses dois pontos através de uma reta, a gente vai determinar a reta secante, não é? Então vamos fazer isso. Vamos traçar essa reta que liga esses dois pontos aqui para assim a gente ter a nossa reta secante. Como a gente consegue determinar a inclinação dessa reta secante? Calculando a razão entre a variação no eixo y pela variação no eixo x. E como que a gente calcula a variação no eixo y? Basta a gente pegar a função nesse ponto (x+h) menos a função nesse ponto x. Então vamos fazer isso aqui. Vamos colocar aqui f(x+h) menos f(x), então a gente já tem a nossa variação do eixo y, dividido pela variação no eixo x, ou seja, (x+h) menos x. Então nós já temos aqui a inclinação da nossa reta secante, e, diga-se de passagem, a gente pode até anular esse x com esse x aqui, afinal x menos x é zero. Sobra apenas h no denominador. Agora o que acontece se a gente fizer esse h ficar cada vez menor, ou seja, se a gente pegar essa coordenada (x+h) e aproximá-la o máximo possível desse x, ou seja, realizar um limite quando h tende a zero? Vamos fazer um limite quando nosso h tende a zero. Assim, quando faz esse limite com h tendendo a zero, a gente está trazendo essa coordenada o mais próximo possível para esse x aqui. Consequentemente a nossa função x+h vai tender para a função f(x) e esse ponto aqui vai se aproximar cada vez mais desse outro ponto de uma forma que quando esse h tender a zero, a nossa reta secante que liga esses dois pontos vai ser igual (ou pelo menos tender, mas a gente pode dizer que vai ser igual) à reta tangente a esse ponto x. Então quando a gente aplica esse limite a essa inclinação da reta secante, a gente está encontrando a inclinação da reta tangente a esse ponto x e a gente pode dizer que tudo isso é uma função f'x, ou a derivada de f(x). Então para a gente conseguir determinar a derivada de x em qualquer ponto ao longo dessa função, basta calcular o limite dessa inclinação da reta secante. Assim a gente vai encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto aqui. Por exemplo, vamos supor que a gente queira saber a inclinação da reta tangente a esse ponto (a, f(a)). Com isso, basta eu substituir x por "a". Assim a gente vai ter a derivada nesse ponto "a", ou seja, em x igual a "a" igual ao limite, com h tendendo a zero, de (f(a+h) menos f(a)) sobre h. Vamos colocar aqui o nosso "a", que é f(a+h) menos f(a). Assim a gente vai conseguir determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto (a,f(a)) ao calcular essa derivada. Observe que isso daqui é uma forma geral que serve para qualquer ponto ao longo dessa função, mas se quiser saber a derivada nesse ponto "a", a gente pode fazer isso de uma forma direta, sem ter necessidade de levar em consideração essa variação h. Para calcular essa derivada, basta calcular o limite nesse ponto "a" direto aqui, ou seja, quando o x tende a "a". Por exemplo, vamos imaginar que a gente tenha um ponto x, um ponto x qualquer, um x arbitrário, em que tem as coordenadas (x, f(x)). Novamente nós podemos traçar a nossa reta secante, que é a reta que liga esses dois pontos, e determinar a inclinação dessa reta secante. Como que a gente consegue determinar a inclinação dessa reta secante? Fazendo o mesmo esquema. Calculando a variação da função e dividindo pela variação no eixo x. Assim a gente vai ter f(x) menos f(a), nesse caso "a", porque a gente já está querendo calcular diretamente a inclinação da reta tangente nesse ponto "a", dividido por x menos "a". Isso aqui, como eu falei, representa a inclinação da reta secante que liga esses dois pontos. Mas se a gente quiser saber a inclinação da reta tangente passando por esse ponto (a,f(a)), a gente pode fazer com que esse x se aproxime desse "a". Quando esse x se aproximar desse "a", a gente vai ter essa reta secante se aproximando aqui dessa reta tangente e a inclinação dela vai ficar cada vez mais próxima da inclinação da reta tangente. Se a gente calcular o limite com x tendendo a "a", a inclinação da reta secante vai ser igual à inclinação da reta tangente que passa por esse ponto "a". Então essa é uma outra forma de calcular também a derivada neste ponto "a". Notem que aqui nós temos duas formas, uma forma geral, que serve para qualquer ponto x em qualquer situação, e aqui a gente já tem uma forma reduzida, que serve para calcular a derivada quando já sabemos o ponto exato que a gente quer. Se você fizer isso aqui e depois substituir x por "a" não tem problema, mas aqui a gente pode fazer de uma forma direta. Qualquer uma das duas formas dá no mesmo, OK?