Exemplo resolvido: derivada como um limite

RKA2G - Vamos dizer que f(x) é igual ao logaritmo natural de "x". Neste vídeo, queremos descobrir a inclinação da reta tangente da curva f(x) quando "x" é igual ao número "e". Então, nós temos "x" sendo igual ao número "e". Bem, o ponto 1 está na curva. f(e) vale 1. Afinal, o logaritmo natural de "e" é 1. Vamos desenhar a reta tangente aqui. O que nós precisamos descobrir aqui é a inclinação dessa reta, ou pelo menos desenvolver uma expressão para ela. Eu vou criar uma expressão utilizando a definição formal, mas também uma definição alternativa. Isso vai nos permitir, inclusive, comparar essas duas definições. Mas vamos pensar um pouco sobre a definição formal. A definição formal nos mostra como encontrar a derivada da função em qualquer ponto "x". Então, digamos que aqui seja um ponto "x" qualquer. Este seria o ponto (x, f(x)). E vamos dizer que este valor seja x + h. Então, a distância aqui seria "h". E este seria o ponto (x + h, f(x + h)). A ideia básica da definição formal da derivada é encontrar a declividade da secante entre estes dois pontos e, então, encontrar o limite quando "h" tende a zero. Ou seja, quando "h" se aproxima de zero. Ou seja, este ponto azul vai chegando mais e mais perto de "x". E este ponto vai se aproximando dele pela curva. A secante entre os dois pontos vai se tornando cada vez mais uma melhor aproximação da reta tangente em "x". Vamos fazer isso. Qual seria a inclinação da reta secante? É a variação no eixo vertical, que será f(x + h) - f(x), sobre a variação no eixo horizontal, que é (x + h) - x. Vemos aqui que a diferença é "h", então, nós temos algo aqui sobre "h". Aí, nós vamos fazer o limite quando "h" tende a zero. No caso em que f(x) é igual ao logaritmo natural de "x", isso será reduzido para o limite de "h" tendendo a zero. f(x + h) é o logaritmo natural de (x + h), menos o logaritmo natural de "x", tudo sobre "h". Para este f(x), isso é igual à primeira derivada de f(x). Então, se quisermos calcular o valor dessa derivada quando x = e, temos que substituir todo "x" por "e". Ela é a expressão da nossa derivada em função de "x". É uma função estranha, porque temos um limite aqui, mas em todo lugar que vemos um "x", como em qualquer função, podemos substituir por "e". Então vamos fazer isso. Podemos escrever: f'(e) é igual ao limite de "h" tendendo a zero do logaritmo natural. Eu vou usar a mesma cor para seguir melhor. Temos o logaritmo natural de (e + h). Vou deixar este espaço em branco aqui só por enquanto. Isto, menos o logaritmo natural de "e", tudo sobre "h". Se calcularmos esse limite, se for possível calcular esse limite, isso nos dará a inclinação da reta tangente quando x = e. E esta é a definição formal da derivada. Como eu disse, agora vamos ver a definição alternativa. A definição alternativa, se não estivermos preocupados em encontrar a derivada geral expressa em função de "x", como nós já fizemos, e se você quiser encontrar a inclinação em um ponto específico, é interessante conhecer a definição alternativa porque ela vai direto a esse objetivo, vai direto ao ponto. Então, vamos imaginar um outro valor de "x". Este aqui é o ponto (x, f(x)), ou podemos dizer logaritmo natural de "x". Qual seria a inclinação da reta secante entre estes dois pontos? Será as variações dos valores no eixo "y". Então, temos aqui o logaritmo natural de "x", menos 1... Vou escrever isso em vermelho... sobre a variação do eixo "x", que é x - e. Esta é a inclinação da reta secante entre estes dois pontos. Mas e se quisermos a reta tangente? Faremos o limite de "x" tendendo a "e". Conforme "x" se aproxima de "e", estes pontos vão se aproximando. E a reta secante será uma aproximação da reta tangente. Vamos fazer isso, o limite de "x" tendendo a "e". Qualquer uma das duas, esta utilizando a definição formal da derivada, e aí, claro, a gente pode melhorar isto aqui para "h" não fazer parte disto, e aí, como eu disse, nós podemos utilizar tanto a definição formal quanto a definição alternativa da derivada.