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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 40: Derivadas de ordem superior (funções paramétricas e vetoriais)Derivadas de segunda ordem (funções vetoriais)
Neste vídeo, calculamos a primeira e a segunda derivada da função vetorial h(t)=(-t⁵-6,4t⁴+2t+1).
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Transcrição de vídeo
RKA7MP - Eu tenho um vetor de função
valorizada aqui. E quando eu digo valor vetorial, significa que você me dá um "t",
é uma definição de "t". E eu não vou apenas dar-lhe um número,
eu vou lhe dar um vetor. E como veremos,
você terá um vetor bidimensional. Você pode ver isto como o componente
"x" do vetor e o componente "y" do vetor. E você, provavelmente,
está familiarizado agora que há várias anotações
para o mesmo vetor bidimensional. Por exemplo, você pode usar o que,
muitas vezes, é visto como notação de engenharia, onde
o componente "x" está sendo multiplicado pelo vetor da unidade horizontal. Então, você pode ver algo assim, onde é o vetor da unidade,
mais o componente "y". 4⁴, mais 2t, mais 1, é multiplicado pelo vetor unitário vertical. Ambos representam a mesma coisa, apenas uma notação diferente. E, às vezes, você verá funções
valorizadas de vetores com uma flecha no topo
para tornar explícito que esta é uma função
de valor vetorial. Às vezes, você apenas vai ouvir
as pessoas dizerem, seja "h" o vetor de uma função valorizada, e eles podem não escrever
esta flecha no topo. Agora que temos isto fora do caminho, o que nos interessa é encontrar a primeira e a segunda derivada de "h"
em relação a "t". Vamos tomar a primeira derivada, h'(t). E como você verá, na verdade,
é bastante direto. Você vai apenas tornar
os respectivos componentes, tome as derivada dos respectivos
componentes em relação a "t". Assim, componente "x" em relação a "t" se você tomasse a derivada
em relação a "t", o que você conseguiria? Vamos usar a regra da potência. 5 vezes 1 negativo, você vai ficar -5, vezes até o 5, menos 1 potência, -5 vezes t⁴. Vai ficar -5 vezes t⁴. A derivada em relação a "t" de -6. Isso é apenas zero, Esta é a taxa de mudança do componente
"x" em relação a "t". Agora, vamos para o componente "y". Vamos fazer o mesmo.
A derivada em relação a "t" vai ser, e, mais uma vez, nós vamos apenas usar
a regra da potência. 4 vezes 4 é 16t³, a derivada de 2t é apenas 2. Depois, a derivada de uma constante, isto é zero, como nós já vimos.
Então, você tem isto. Portanto, esta é a taxa de mudança
do componente "x" em relação a "t". Esta é a taxa de mudança do componente
"y" em relação a "t". E uma maneira de fazê-lo é
representar os vetores de muitas formas diferentes. Mas um vetor bidimensional como este
vai ser h(t), sendo um vetor de posição
em duas dimensões. E se você estiver olhando a taxa de
mudança de posição em relação ao tempo, este seria o vetor de velocidade. E se tomássemos a derivada disto
em relação ao tempo, nós vamos conseguir o vetor de aceleração. O que vai ser h'(t)? Nós apenas aplicamos
a regra da potência novamente. 4 vezes -5 é igual a -20t, para os 4 menos 1. Então, t³. E temos 3 vezes 16, que é 48t². A derivada de 2 é a apenas zero.
Você tem isto. Se você visualizar "t" ao decorrer
do tempo, para qualquer momento, você pode, com isso, dar a posição, a velocidade e a aceleração. É importante perceber que estes vetores poderiam representar qualquer coisa
de natureza bidimensional.