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Conte√ļdo principal

Derivada de ln(x) a partir da derivada de ūĚĎíň£ e diferencia√ß√£o impl√≠cita

Como você pode calcular a derivada de ln(x) visualizando-a como a inversa de e^x? Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

[RKAC] N√≥s sabemos que a derivada em rela√ß√£o a x de eň£ √© eň£. Isso √© uma das derivadas mais bonitas da matem√°tica. Agora, qual seria a derivada da sua fun√ß√£o inversa? Ou seja, do logaritmo natural de x em rela√ß√£o a x? N√≥s sabemos que, se chamarmos y de ln x, isso significa que e ł = x. Ent√£o, podemos dizer que eň°‚ĀŅň£ = x. Uma vez que ln x √© o pr√≥prio y, e e ł = x, ent√£o, eň°‚ĀŅň£ √© o pr√≥prio x. Partindo desse princ√≠pio, por meio da express√£o e ł = x, vamos derivar de ambos os lados em rela√ß√£o a x: dx, e, aqui tamb√©m, derivada de x em rela√ß√£o a x. Aqui, pela regra da cadeia, n√≥s temos que a derivada de e elevado a qualquer coisa √© o pr√≥prio e elevado a qualquer coisa. Ent√£o, isso √© e ł, vezes dy/dx. Deste lado, a derivada de x em rela√ß√£o a x √© 1. Ent√£o, ficamos com dy/dx = 1/e ł. Ora, mas quem √© e ł? e ł √© o pr√≥prio x. Portanto, ficamos com dy/dx = 1/x. Ora, quem √© o nosso y? y √© ln x. Portanto, podemos deduzir que d[ln x]/dx = 1/x. Isso √© bastante interessante, porque 1/x, podemos escrever como x‚ĀĽ¬Ļ. Ou seja, d[ln x] vai dar x‚ĀĽ¬Ļ, o que faz com que possamos integrar x‚ĀĽ¬Ļ. Quando n√≥s temos x‚ĀĽ¬Ļ, se formos usar a regra da pot√™ncia, temos que aumentar a pot√™ncia em uma unidade e dividir por ela aumentada em uma unidade. Ent√£o, a integral de x‚ĀĽ¬Ļ seria x¬Ļ ‚Āļ ‚ĀĹ‚ĀĽ¬Ļ‚Āĺ, seria x‚Āį, sobre 1 - 1, que seria 0. Ou seja, n√£o chegamos, pela regra da pot√™ncia, nessa integral, mas podemos dizer que a integral de 1/x vai ser ln x. Isso √© bastante interessante, e espero que este v√≠deo tenha sido √ļtil!