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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 31: Diferenciação implícita (exemplos avançados)- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Diferenciação implícita (exemplo avançado)
- Derivada de ln(x) a partir da derivada de 𝑒ˣ e diferenciação implícita
- Revisão da diferenciação implícita
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Diferenciação implícita (exemplo avançado)
Neste vídeo, calculamos dy/dx para e^(xy²)=x-y utilizando a diferenciação implícita. Versão original criada por Sal Khan.
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- Pelo que percebi, essa notação para derivadas (D maiúsculo) é pouco usada nos livros de cálculo. Eu queria saber o porquê disso, é só por razões de costume ou tem um contexto em que é utilizada?(2 votos)
- creio que seja por costume, a notação de Leibniz é muito utilizada em cálculo integral, nas substituições e nas por partes... até onde vi.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver um exercício a respeito de derivada
de uma função implícita. E nós já até falamos a respeito
deste tipo de função, que é uma função meio complicada, não é? E eu coloquei aqui até
o gráfico desta função e você pode ver que o gráfico
é meio bizarro, não é? E a primeira coisa que eu vou fazer é aplicar a derivada em ambos
os membros desta equação. E eu vou ficar com a derivada da função
em relação a "x" disto aqui. Mas eu vou colocar uma outra notação
que eu acho que vai ficar melhor. Essa é a hora de apresentar essa notação. Eu posso, simplesmente, colocar o operador de derivada
que é um "D" maiúsculo. Então, um "D" maiúsculo aqui,
e um "D" maiúsculo aqui. Então, deixando bem claro,
este operador de derivada é a mesma coisa que a derivada
da função em relação a "x". E uma outra coisa que eu
vou fazer aqui também é, em vez de colocar a derivada
de "y" em relação a "x", eu vou colocar somente y'. Claro, isso é importante para praticarmos
com outras notações, não é? Então, primeiro, nós vamos tomar
a derivada disso aqui e fazemos isso aplicando
a regra da cadeia. Isso significa que nós vamos pegar
a derivada de "e" elevado a alguma coisa com relação a essa alguma coisa, vezes a derivada dessa coisa
com relação a "x". Como assim? A derivada de "e" elevado a essa
alguma coisa que, neste caso, é "x" vezes "y" ao quadrado, vezes a derivada desta coisa,
que é "x" vezes "y" ao quadrado. E no lado direito nós vamos
ter a derivada de "x" que é 1, e a derivada de "y"
em relação a "x" é y'. Isso porque a derivada de "y"
em relação a "x" é igual a y'. Claro, eu estou utilizando
outra notação. Mas, na verdade, eu gosto mais desta e desta aqui, porque fica mais claro que eu estou
derivando em relação a "x". Enquanto aqui, nós temos que assumir
que estamos derivando em relação a "x". E aqui temos que assumir que esta
é a derivada de "y" em relação a "x". Mas, enfim, nesta aula só estou
utilizando esta notação para você ver que ela existe também. Deixe-me colocar esta derivada
de "y" em relação a "x" em rosa aqui para separar da outra que estamos
derivando, a função em relação a "x". Então, vamos ficar com "e" elevado a
"x" vezes "y" ao quadrado, vezes a derivada disso aqui. E para derivar isso, utilizamos a regra do produto
e a regra da cadeia. E aí, vamos ficar com a derivada
de "x" que é igual a 1, vezes a segunda função, que é y², e somamos isso com o produto
da primeira função, com a derivada da segunda função
em relação a "x", que vai ser 2y vezes a derivada de "y"
com relação a "x", que, neste caso, é y'. Lembrando que aqui nós estamos
derivando "y" em relação a "x" e, por isso, utilizamos a regra
da cadeia ficando com isso aqui. Isto vai ser igual a 1 - y'. O que temos que fazer, neste momento, é resolver esta equação para encontrar
a derivada de "y" em relação a "x". E se aplicarmos a distributiva aqui, nós vamos ficar com y²
que multiplica "e" elevado a "x" vezes "y" ao quadrado, mais 2xy que multiplica
"e" elevado a xy² vezes y'. E isto vai ser igual a 1
menos a derivada de "y" em relação a "x" que é y'. E aqui nós podemos subtrair
ambos os membros desta equação por y² vezes "e" elevado a xy². Também podemos somar a ambos
os membros desta equação y'. E aí, vamos ficar com 2 vezes
"x" vezes "y" vezes "e" elevado a xy² que multiplica y', mais y' igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy². E podemos colocar este y' em evidência, ficando com y' que multiplica
2xy vezes "e" elevado a "x" vezes y² + 1. Note que se você fizer esta multiplicação,
você volta para esta parte. Isso vai ser igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy². Agora, sim, eu posso dividir ambos
os membros desta equação por isso aqui. E aí, eu vou ficar com y'
igual a 1 - y² vezes "e" elevado a xy² dividido por 2xy
vezes "e" elevado a "xy² + 1". Pronto, encontramos a derivada de
"y" em relação a "x". Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!