Exemplo resolvido: cálculo da derivada com diferenciação implícita

RKA14C Nós já vimos diversos exemplos sobre derivadas implícitas, mas, neste vídeo aqui, além de determinar a derivada implícita, vamos encontrar a reta tangente em um determinado ponto específico: no ponto x = 1, ok? Então, o que nós vamos fazer aqui é observar esta função e determinar a inclinação da reta tangente no ponto x = 1. Bem, só para determinarmos a nossa função aqui e saber exatamente sobre qual ponto estamos falando, vamos resolver esta função para x = 1. Ok, para fazer isso, basta a gente substituir todos os x que estão nessa função por 1. Então, vamos ter aqui: 1², que é 1, mais (y - 1)³ igual a 28. Subtraindo por 1 dos dois lados dessa expressão, a gente vai ter: (y - 1)³ = 28 - 1, que é 27. E 27 é a mesma coisa que 3³, certo? Então, podemos dizer que, se temos (y - 1)³ = 3³, y - 1 vai ser igual a 3. Somando 1 dos dois lados, a gente tem: y = 3 + 1, que é 4. Quando x = 1, a gente vai ter y = 4. Então, estamos falando aqui da inclinação da reta tangente a esse ponto x = 1 e y = 4. Então, se a gente observar o gráfico dessa função, que inclusive eu plotei no Wolfram Alpha... Se a gente está falando de x = 1 e y = 4, está falando exatamente deste ponto aqui. Então, a gente quer a reta tangente, a inclinação da reta tangente a esse ponto. Como se determina a inclinação da reta tangente a esse ponto? Calculando a derivada dessa função. Obviamente que, quando você observar essa derivada, não vai conseguir fazê-la diretamente. Mas não se esqueça que isso se trata de uma derivada implícita. Qual foi a técnica que a gente utilizou para resolver essa derivada implícita? Derivando dos dois lados em relação a x. Então, vamos derivar esta função aqui dos dois lados em relação a x, ok? Vamos continuar aqui embaixo. Então, a gente quer calcular a derivada em relação a x de x² + (y - x)³. Aí, a gente deriva do outro lado também em relação a x. A derivada em relação a x de 28, ok? Beleza, vamos então calcular esta derivada aqui em relação a x. A derivada de x² em relação a x é igual a 2x, certo? Mais... Para fazer a derivada de (y - x)³ em relação a x, a gente vai utilizar a regra da cadeia. A gente deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro em relação a x. Para derivar a função de fora, basta utilizar a regra da potência. A gente coloca o 3 aqui na frente, certo? E faz vezes (y - x)³⁻¹, que é 2. Isso vezes a derivada da função que está aqui dentro. Então, a gente vai derivar y em relação a x, que é dy/dx, menos a derivada de x em relação a x, que é igual a 1, certo? E isso é igual à derivada de 28. A derivada de uma constante é sempre igual a zero. Então, isso vai ser igual a zero. Beleza? Vamos melhorar isso um pouco. A gente pode repetir esse 2x e resolver toda essa outra multiplicação, multiplicando este termo por dy/dx e multiplicando este termo aqui por -1. Assim, a gente vai ter 2x... Isto aqui tudo vezes -1 vai ser igual a menos tudo isto aqui. Então, fica: -3 vezes (y - x)², mais tudo isto aqui vezes dy/dx. Fica: 3 vezes (y - x)² vezes dy/dx. E isso é igual a zero. Ok, agora a gente pode jogar este termo aqui para o outro lado dessa igualdade subtraindo por esse termo dos dois lados da igualdade. Assim, a gente anula essa parte e fica apenas com esse termo do outro lado, só que com os sinais trocados. Então, deste lado aqui da igualdade, do lado esquerdo, vamos ter: 3 vezes (y - x)² vezes dy/dx. E isso é igual a este termo todo, só que com o sinal trocado. Então, a gente vai ter: 3 vezes (y - x)² - 2x. Agora podemos dividir por este termo aqui dos dois lados da equação. Assim, vamos ter, deste lado, apenas o dy/dx, que é o que nós estamos querendo encontrar. Então, vamos ter aqui dy/dx igual a: 3 vezes (y - x)² - 2x dividido por 3 vezes (y - x)². Calculamos a derivada de y em relação a x, não foi? Só que a gente quer esta derivada aqui em x = 1, no ponto x = 1, não é? Como a gente já calculou a função em x = 1, que é este 4 aqui, basta a gente substituir todos os x por 1, e todos os y por 4. Assim, a gente vai encontrar a derivada de y em relação x nesse ponto x = 1. Vamos fazer isso agora. Isso vai ser igual a: 3 vezes y, que é 4, menos x, que é 1, ambos elevados ao quadrado, menos 2 vezes x, que é 1. Isso dividido por: 3 vezes y, que é 4, menos 1, que é o x, ambos ao quadrado. Isso vai ser igual a quanto? 4 - 1 = 3. 3² = 9. 3 vezes 9 = 27. Então, a gente vai ter 27 menos quanto? Menos 2 vezes 1, que é 2. Isto aqui vai ser igual a: 27 - 2, que é 25, dividido por... 4 - 1 = 3, 3² = 9. E 3 vezes 9 é igual a 27. Então, a gente tem 25 dividido por 27. Esse 25 dividido por 27, que é quase igual a 1, indica para a gente a inclinação da reta tangente neste ponto em que a gente tem x = 1 e y = 4. Novamente falando, este gráfico, eu plotei lá no Wolfram Alpha. Então, se você quiser plotar um gráfico parecido, é só acessar esse site e colocar essa função que ele vai plotar esse gráfico para você.