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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 30: Introdução à diferenciação implícita- Diferenciação implícita
- Exemplo resolvido: diferenciação implícita
- Exemplo resolvido: cálculo da derivada com diferenciação implícita
- Diferenciação implícita
- Demonstração de como a diferenciação explícita e a implícita dão o mesmo resultado
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Exemplo resolvido: cálculo da derivada com diferenciação implícita
Neste vídeo, encontramos o coeficiente angular da reta tangente à curva x²+(y-x)³=28 em x=1 usando diferenciação implícita. Versão original criada por Sal Khan.
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- essa última divisão não deveria ter o denominador como -3(4-1) ao quadrado ?(1 voto)
- Olá, tudo bem? Não, não precisa ser negativo o "3", pois o valor da esquerda foi dividido por 3(4-1). O valor negativo foi somado ao lado esquerdo, e assim ficou positivo. Sendo assim numerador e denominador positivos, a divisão também será positiva.
Espero ter ajudado! :)(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Nós já vimos diversos exemplos
sobre derivadas implícitas, mas, neste vídeo aqui, além de
determinar a derivada implícita, vamos encontrar a reta tangente
em um determinado ponto específico: no ponto x = 1, ok? Então, o que nós vamos fazer aqui
é observar esta função e determinar a inclinação da
reta tangente no ponto x = 1. Bem, só para determinarmos
a nossa função aqui e saber exatamente sobre
qual ponto estamos falando, vamos resolver esta função
para x = 1. Ok, para fazer isso,
basta a gente substituir todos os x que estão
nessa função por 1. Então, vamos ter aqui: 1², que é 1, mais (y - 1)³ igual a 28. Subtraindo por 1 dos dois lados
dessa expressão, a gente vai ter: (y - 1)³ = 28 - 1,
que é 27. E 27 é a mesma coisa
que 3³, certo? Então, podemos dizer que,
se temos (y - 1)³ = 3³, y - 1 vai ser igual a 3. Somando 1 dos dois lados,
a gente tem: y = 3 + 1,
que é 4. Quando x = 1,
a gente vai ter y = 4. Então, estamos falando aqui da inclinação da reta tangente a esse ponto x = 1 e y = 4. Então, se a gente observar
o gráfico dessa função, que inclusive eu plotei
no Wolfram Alpha... Se a gente está falando
de x = 1 e y = 4, está falando exatamente
deste ponto aqui. Então, a gente quer
a reta tangente, a inclinação da reta tangente
a esse ponto. Como se determina a inclinação
da reta tangente a esse ponto? Calculando a derivada dessa função. Obviamente que, quando você
observar essa derivada, não vai conseguir fazê-la diretamente. Mas não se esqueça que isso
se trata de uma derivada implícita. Qual foi a técnica que a gente utilizou para resolver essa derivada implícita? Derivando dos dois lados em relação a x. Então, vamos derivar esta função aqui dos dois lados
em relação a x, ok? Vamos continuar
aqui embaixo. Então, a gente quer calcular
a derivada em relação a x de x² + (y - x)³. Aí, a gente deriva do outro lado
também em relação a x. A derivada em relação a x
de 28, ok? Beleza, vamos então calcular
esta derivada aqui em relação a x. A derivada de x² em relação a x
é igual a 2x, certo? Mais... Para fazer a derivada de (y - x)³
em relação a x, a gente vai utilizar
a regra da cadeia. A gente deriva a função de fora e multiplica pela derivada
da função de dentro em relação a x. Para derivar a função de fora, basta utilizar a regra da potência. A gente coloca o 3
aqui na frente, certo? E faz vezes (y - x)³⁻¹,
que é 2. Isso vezes a derivada da função
que está aqui dentro. Então, a gente vai derivar y
em relação a x, que é dy/dx, menos a derivada de x
em relação a x, que é igual a 1, certo? E isso é igual à derivada de 28. A derivada de uma constante
é sempre igual a zero. Então, isso vai ser igual a zero. Beleza? Vamos melhorar isso um pouco. A gente pode repetir esse 2x e resolver toda essa outra multiplicação, multiplicando este termo por dy/dx e multiplicando este termo aqui por -1. Assim, a gente vai ter 2x... Isto aqui tudo vezes -1 vai ser
igual a menos tudo isto aqui. Então, fica: -3 vezes (y - x)², mais tudo isto aqui
vezes dy/dx. Fica: 3 vezes (y - x)²
vezes dy/dx. E isso é igual a zero. Ok, agora a gente pode
jogar este termo aqui para o outro lado
dessa igualdade subtraindo por esse termo
dos dois lados da igualdade. Assim, a gente anula essa parte e fica apenas com esse termo
do outro lado, só que com os sinais trocados. Então, deste lado aqui da igualdade, do lado esquerdo,
vamos ter: 3 vezes (y - x)² vezes dy/dx. E isso é igual a
este termo todo, só que com o sinal trocado. Então, a gente vai ter:
3 vezes (y - x)² - 2x. Agora podemos dividir
por este termo aqui dos dois lados da equação. Assim, vamos ter, deste lado,
apenas o dy/dx, que é o que nós estamos
querendo encontrar. Então, vamos ter aqui
dy/dx igual a: 3 vezes (y - x)² - 2x dividido por 3 vezes (y - x)². Calculamos a derivada de y
em relação a x, não foi? Só que a gente quer
esta derivada aqui em x = 1, no ponto x = 1, não é? Como a gente já calculou
a função em x = 1, que é este 4 aqui, basta a gente substituir
todos os x por 1, e todos os y por 4. Assim, a gente vai encontrar a derivada
de y em relação x nesse ponto x = 1. Vamos fazer isso agora. Isso vai ser igual a: 3 vezes y, que é 4, menos x, que é 1,
ambos elevados ao quadrado, menos 2 vezes x,
que é 1. Isso dividido por: 3 vezes y, que é 4, menos 1, que é o x, ambos ao quadrado. Isso vai ser igual a quanto? 4 - 1 = 3. 3² = 9. 3 vezes 9 = 27. Então, a gente vai ter
27 menos quanto? Menos 2 vezes 1,
que é 2. Isto aqui vai ser igual a: 27 - 2,
que é 25, dividido por...
4 - 1 = 3, 3² = 9. E 3 vezes 9
é igual a 27. Então, a gente tem 25
dividido por 27. Esse 25 dividido por 27,
que é quase igual a 1, indica para a gente a inclinação
da reta tangente neste ponto em que a gente tem x = 1 e y = 4. Novamente falando, este gráfico,
eu plotei lá no Wolfram Alpha. Então, se você quiser plotar
um gráfico parecido, é só acessar esse site
e colocar essa função que ele vai plotar esse gráfico para você.