Exemplo resolvido: diferenciação implícita

RKA4JL - Neste vídeo nós vamos ver mais um exemplo de derivadas implícitas. Aqui nós temos uma função diferencial em que temos (x menos y)² e isso é igual a x mais y menos 1. Uma forma de a gente começar a realizar essa derivada implícita é derivando os dois lados dessa igualdade em relação a x. É o que nós vamos fazer aqui agora. Então a gente vai derivar o lado esquerdo dessa igualdade em relação a x e vamos fazer a mesma coisa do lado direito, também vamos derivar esse lado em relação a x. Como que a gente consegue realizar a derivada de (x menos y)²? Para fazer isso, a gente pode utilizar a regra da cadeia. Como? Derivando a função interna em relação a x e multiplicando pela derivada da função de fora em relação ao que está aqui dentro. Derivando a função de fora, nós podemos utilizar a regra da potência. Então a gente vai colocar esses expoente aqui na frente e assim a gente vai ter 2 vezes tudo isso aqui, ou seja, (x menos y) e vamos multiplicar isso pela derivada da função aqui de dentro em relação a x. Derivando x em relação a x, a gente vai ter 1 menos a derivada de y em relação a x. O que nós fizemos aqui, como eu falei, foi utilizar a regra da cadeia, lembrando que essa parte aqui é a derivada da função de fora, ou seja, de (x menos y)², em relação à função de fora. Então vai ser em relação a x menos y. Então por isso que a gente teve essa resposta, 2 vezes (x menos y), já que quando a gente deriva (x menos y)² em relação a (x menos y), nós vamos ter como resposta 2 vezes (x menos y) e essa outra parte aqui é a derivada da função de dentro em relação a x. Então isso vai ser a derivada de (x menos y) em relação a x. Derivando agora o direito em relação a x, a gente vai ter a derivada de x em relação a x, que é igual a 1, mais a derivada de y em relação a x. A derivada de 1 é zero, já que a gente já sabe que a derivada de uma constante sempre vai ser igual a zero, e 1 é uma constante. O que nós precisamos fazer agora, já que a gente quer encontrar a derivada de y em relação a x, é encontrar uma maneira de isolar esse dy/dx, lembrando que a gente tem esse dy/dx aqui do lado direito da igualdade e também temos esse dy/dx aqui do lado esquerdo. Então a gente precisa encontrar uma maneira de isolar esse dy/dx. Vamos fazer isso daqui. Para a gente começar a trabalhar com essa expressão, eu vou melhorar um pouco a visualização desse 2 vezes (x menos y) aplicando a distributiva. Assim a gente vai ter (2 vezes x menos 2 vezes y), e tudo isso vai multiplicar essa expressão aqui. Assim a gente vai pegar esse (2x menos 2y) e multiplicar por 1. (2x menos 2y) vezes 1 é igual a (2x menos 2y) e a gente também vai pegar esse (2x menos 2y) e multiplicar por esse -dy/dx. Assim a gente vai ter -(2x menos 2y) vezes dy/dx e -(2x menos 2y) é igual a (2y menos 2x). Então nós vamos ter (2x menos 2y) mais (2y menos 2x) vezes dy/dx. Do outro lado a gente continua tendo 1 mais dy/dx. O que a gente pode fazer agora para conseguir encontrar esse resultado? A gente pode encontrar uma forma de levar esse (2x menos 2y) para o outro lado da igualdade, para o lado direito, e para fazer isso a gente pode subtrair (2x menos 2y) dos dois lados da igualdade. Assim a gente vai colocar isso tudo, -(2x menos 2y), isso entre parênteses, e a mesma coisa aqui do outro lado. A gente também vai subtrair por esse (2x menos 2y). A gente também pode levar esse dy/dx para o lado esquerdo da igualdade, Para fazer isso, a gente pode fazer a mesma coisa: subtrair dy/dx dos dois lados da igualdade. Assim a gente vai ter tudo isso aqui -dy/dx e desse lado aqui a gente também vai colocar -dy/dx. Mas por que é interessante fazer isso? Quando a gente faz isso, quando a gente subtrai por (2x menos 2y) aqui do lado esquerdo da igualdade, a gente cancela esta parte com essa parte aqui e fica apenas com (2x menos 2y) dy/dx do lado esquerdo. E claro, aqui do lado direito a gente vai ter esse -(2x menos 2y). Quando a gente subtrai por dy/dx nos dois lados, a gente cancela esse dy/dx aqui do lado direito e fica apenas com -dy/dx aqui do lado esquerdo. Assim, reescrevendo tudo isso, a gente vai ter (2y menos 2x) vezes dy/dx menos... Aqui a gente tem -dy/dx, certo? Lembrando que quando a gente não tem nenhum número aqui na frente de alguma coisa, na verdade que a gente tem é o número 1, então a gente vai ter aqui -1 vezes dy/dx. Tudo isso vai ser igual a 1 menos (2x menos 2y). Colocando esse dy/dx em evidência, a gente vai ter (2y menos 2x) menos 1 vezes dy/dx, certo? Então a gente pode apagar toda essa parte aqui e colocar (2y menos 2x) menos 1 vezes dy/dx. Isso vai ser igual a 1 menos (2x menos 2y). A gente também pode melhorar um pouco esse lado esquerdo sabendo que, como a gente tem o sinal de negativo, -(2x menos 2y) é a mesma coisa que (2y menos 2x), então a gente também pode apagar tudo isso aqui e melhorar um pouco a visualização disso. Então toda essa parte aqui vai ser igual a (2y menos 2x) mais 1. Como o nosso objetivo é calcular a derivada implícita, ou seja, calcular a derivada de y em relação a x, basta agora dividir por (2y menos 2x menos 1) os dois lados da igualdade, assim a gente vai ter que dy/dx é (2y menos 2x mais 1) sobre (2y menos 2x menos 1). Então dy/dx é igual a (2y menos 2x mais 1) sobre (2y menos 2x menos 1). Então nós também vimos aqui um outro exemplo para a gente calcular uma derivada implícita. Lembre-se que sempre que a gente for calcular uma derivada implícita, precisamos levar em consideração todas as propriedades da derivada que a gente já conhece. Sabendo disso a gente vai pegar a função, derivar em relação a x e então vai abrindo essa derivada utilizando as propriedades da derivada até a gente conseguir chegar ao resultado. E para chegar a esse resultado, a gente precisa encontrar uma maneira de isolar dy/dx, que é na verdade o resultado que a gente está procurando, a derivada de y em relação a x, que nesse caso aqui foi igual a (2y menos 2x mais 1) sobre (2y menos 2x menos 1).