Diferenciação implícita

RKA8JV - Aqui nós temos a função "x² + y² = 1". Se a gente for colocando todos os pontos aqui que satisfaçam esta igualdade, a gente vai conseguir traçar uma circunferência com raio 1, ou seja, uma circunferência unitária. Tecnicamente, este gráfico aqui é o que representa essa função. Vamos supor que eu queira determinar a inclinação de uma reta tangente em algum ponto aqui ao longo desta circunferência. Por exemplo, neste ponto aqui, caso a gente queira determinar a inclinação da reta tangente a este ou a qualquer outro ponto, basta calcular a derivada desta função, certo? No entanto, a primeira impressão que a gente tem é que isso aqui não se trata de uma função, já que para qualquer valor em "x", a gente pode encontrar dois pontos em "y". Então, dificilmente a gente conseguiria calcular a derivada, já que a gente tem dois pontos possíveis em "y" para "x". Porém, existe uma saída para fazer isso. A gente poderia resolver esta função aqui e resolver para o "y" em termos de "x". Por exemplo, a gente poderia dizer que "y = √1 - x²", e aí a gente deriva isso para encontrar a inclinação em um certo ponto para "x" com o "y" positivo. Mas a gente também teria uma outra possibilidade, que seria o "y = -√1 - x²". Então, se eu quero encontrar o "y" positivo para um ponto em "x", eu derivo isto aqui e encontro a inclinação naquele ponto. Se eu quero encontrar a inclinação em um determinado ponto "x" em que o "y" é negativo, eu derivo isso aqui e encontro a inclinação naquele ponto. Isso aqui é uma forma, uma possibilidade, no entanto, eu quero aproveitar este vídeo para encontrar uma forma de derivar isso aqui sem que seja necessário desmembrar esta função em duas funções. Para fazer isso, a gente vai utilizar a regra da cadeia. Esse processo inclusive, é chamado de derivada implícita. Então, vamos colocar até o título aqui. Isto é uma derivada implícita, já que ela não está apresentada de uma forma explícita. Para realizar o cálculo desta derivada implícita, nós vamos utilizar a regra da cadeia. Então, vamos lá. A primeira coisa que a gente precisa fazer aqui é derivar dos dois lados dessa igualdade. Derivar em relação a "x". Então, vamos derivar em relação a "x", o primeiro lado aqui dessa igualdade, e também vamos levar em relação a "x", o segundo lado aqui dessa igualdade. O primeiro lado aqui vai ser "x² + y²", então, vai ser a derivada em relação a "x" de [x² + y²] e deste lado aqui vai ser a derivada em relação a x[1]. Desse lado, a gente pode aplicar a regra da soma, em que a derivada entre a soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções. Então, nós vamos ter a derivada em relação a "x" de x² mais a derivada em relação a "x" de y² e isso sendo igual à derivada em relação a x[1], tudo bem? Então, vamos colocar aqui, d/dx [x²] + d/dx [y²], que é igual à derivada em relação a x[1]. Só que 1 é um valor constante, certo? E a derivada de um valor constante é igual a quanto? É igual a zero. Então, isso vai ser igual a zero. Rapidamente, a gente consegue calcular d/dx [x²], não é? d/dx [x²] = 2x. Agora, qual seria d/dx [x²]? Bem, essa é muito fácil de resolver. d/dx [x²] = 2x. E qual seria d/dx [y²]? Aqui que nós precisamos aplicar a regra da cadeia, já que "y" se trata de uma função de "x". Então, o que nós precisamos fazer? Calcular a derivada da função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro. Então, a gente vai calcular o quê? Primeiro, a derivada da função de fora, que é y², certo? Isso em relação a "x", e vai multiplicar com a derivada da função interna, que é o "y", então dy/dx. Eu sei que desse jeito aqui não fica algo muito explícito e não dá para visualizar direito, mas "y" se trata de uma função de "x". Então, seria até interessante a gente colocar isso aqui de uma outra forma. Por exemplo, a gente poderia colocar aqui do lado que isso aqui, na verdade, é "d/dx [y(x)", já que "y" é uma função de "x", e essa função de "y" relação a "x" elevada ao quadrado, porque aqui a gente só tem o "y", mas a gente não pode esquecer que o "y" é uma função de "x", certo? E aí, ao aplicar a regra da cadeia, a gente tem isso aqui como produto, então, isso aqui é a regra da cadeia. Aplicando a regra da cadeia a essa função, que é a mesma coisa que isso aqui, a gente tem como resultado exatamente o quê? d(y²)/dx, e d(y²)/dx é igual a 2 vezes o y(x), certo? Vezes dy/dx. Então, a gente pega aqui e deriva a função de fora, essa função de fora aqui, vai ser duas vezes y(x) vezes a derivada da função de dentro, que é o "y", então, dy/dx. Então, a derivada de [x² + y²] em relação a "x" vai ser igual a 2x + d[(y(x))²]/dx, que é 2y vezes de dy/dx. Isso claro, sendo igual a zero. Então, o nosso objetivo aqui é encontrar esta derivada, dy/dx, então, a gente pode resolver esta equação aqui para este termo, que assim a gente vai conseguir encontrar dy/dx. Então, vamos fazer isso. Vamos pegar toda essa parte e repetir aqui em cima, só para a gente conseguir visualizar melhor. Então, a gente tem (2x + 2y) dy/dx, isso sendo igual a zero. Bem, a primeira coisa que a gente pode fazer aqui é subtrair por 2x dos dois lados dessa igualdade. Então, nós vamos ter 2y dy/dx, isso sendo igual a -2x, ok? A gente anula o 2x desse lado, já que a gente subtraiu por 2x deste lado, e fica com menos 2x desse outro lado direito aqui, beleza? Agora, o que a gente pode fazer é dividir por 2y dos dois lados dessa igualdade. A gente divide aqui por 2y e divide por 2y aqui. Deste lado, a gente vai anular esse 2y aqui e vamos ficar apenas com dy/dx, ficando com o 2y do outro lado aqui. Assim, a gente vai ter menos 2x /2y, e diga-se de passagem, 2/2 = 1, então, a gente anula este 2 com esse 2. Dessa forma, nós vamos ter que dy/dx, que é o que nós estamos tentando encontrar, vai ser igual a -x/y. Assim, a gente conseguiu sim, chegar a uma expressão em que a gente consegue calcular diretamente dy/dx, pegando apenas menos a razão entre a coordenada "x" e a coordenada "y". Vamos ver se isso faz sentido? Vamos pegar um certo ponto qualquer aqui. Por exemplo, vamos pegar um ponto em que a gente já conheça os valores de "x" e "y", um ângulo que seja igual a 45°. Se a gente pegar esse ângulo igual a 45° e perguntar: "quanto que vale a inclinação da reta tangente a esse ponto?" A inclinação da reta que passa este ponto aqui, desse jeito. A gente sabe que, neste ponto, quais são os valores de "x" e "y"? A coordenada "x" vai ser igual a √2/2, e a coordenada "y" também é igual a √2/2. Como o nosso objetivo é encontrar a inclinação desta reta tangente, para a gente encontrar a inclinação desta reta tangente, basta calcular a derivada. E quanto que vale a derivada aqui? dy/dx = -x/y. Nesse caso, a gente vai ter -x, que é √2/2, dividido por "y", que também é √2/2. Isso aqui vai ser igual a -1. Então, a inclinação da reta tangente a este ponto aqui, em que o ângulo é igual a 45°, é igual a -1, que faz muito sentido. Se você observar a gente tem uma inclinação negativa, certo? Uma inclinação negativa igual a 1. Então, esta aqui é uma forma que a gente pode calcular as derivadas implícitas se aproveitando dessa ferramenta, que é a regra da cadeia.