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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 1: Introdução ao cálculo diferencialA derivada e a direção de uma função
Neste vídeo, estudamos vários gráficos para determinar intervalos nos quais a derivada da função representada graficamente é positiva ou negativa. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Uma função f(x)
está representada abaixo. Destaque o intervalo onde f'(x) > 0. Se f'(x), que é a derivada
primeira de f(x), é positivo, então temos que a inclinação da reta tangente ao gráfico
tem que ser positiva. Ou seja, nestes intervalos,
a função deve ser crescente. Então, onde temos a função crescendo? Neste intervalo, verificamos que quando
os valores de "x" vão aumentando, os valores da nossa
função vão diminuindo, então, a função é decrescente
em todo este intervalo. O valor da função vai diminuindo e depois, mesmo diminuindo em taxas mais lentas, ela continua diminuindo até este ponto. Neste ponto, a inclinação da reta
tangente ao gráfico é horizontal, paralela ao eixo das abcissas. A partir de então, a função
começa a crescer, e o faz em taxas cada vez maiores. Nós, então, temos que
destacar toda esta região, onde verificamos o gráfico
indicando a função crescendo. Observe que aqui, os valores
da função são negativos, mas ela está crescendo, ou seja, podemos colocar
este destaque azul em qualquer região onde a função
tem seus valores aumentando conforme aumentamos os valores de "x". Vamos checar a resposta. Vamos a outro exemplo. Uma função f(x) está plotada abaixo. Destaque o intervalo onde f(x) > 0 e f'(x), a sua derivada, é negativa. f(x) > 0 significa que devemos
olhar o gráfico no primeiro ou no segundo quadrante. f'(x) < 0 significa que procuramos o intervalo onde a função está decrescendo, ou seja, a inclinação da
reta tangente ao gráfico tem que ser negativa. As duas regiões onde temos f(x) > 0 são esta aqui e este outro intervalo aqui. Mas além disso, nos importa o intervalo onde temos a função decrescendo. Este intervalo não é válido
para o que queremos porque aqui temos a função crescente. Mas, se olhamos este outro intervalo, enquanto "x" aumenta, os valores
da função diminuem. E este intervalo, portanto, parece satisfazer as condições
deste problema. Este último intervalo aqui
não nos interessa porque embora o f(x) seja positivo,
a função é crescente, ou seja, aqui, a derivada
da função é positiva. Aqui, a derivada também é positiva, aqui, a derivada é negativa. Vamos a outro exemplo. Uma função f(x) está plotada abaixo. Destaque o intervalo em que
f(x) é positivo e f'(x) é negativo. Vamos aplicar exatamente a mesma ideia, onde "f" assume valores positivos e ao mesmo tempo está decrescendo. "f" é positivo aqui,
mas não nos interessa, "f" é positivo aqui,
mas também não nos interessa porque nestes intervalos ela é crescente. Neste intervalo, verificamos
a função decrescendo, mas não nos interessa também porque seus valores são negativos. Então, temos apenas esta região
atendendo às condições. Checamos a resposta, e pronto! Até o próximo vídeo.