Derivada da inversa do seno

RKA2G - O que eu quero mostrar neste vídeo é ver se a gente consegue determinar qual a derivada de "y" em relação a "x", caso "y" seja igual ao arcseno de "x", ou seja, à função inversa do seno de "x". Como sempre, eu peço que você pause este vídeo e tente resolver isso sozinho. Vou te dar duas dicas. A primeira é: nós não sabemos qual é a derivada do arcseno de "x", mas sabemos qual é a derivada do seno de alguma coisa, certo? Então, talvez, se você conseguir mexer nisto e usar alguma diferenciação implícita, talvez você consiga descobrir o que dy/dx é. Lembre-se disso. Este é o nosso objetivo. O que nós queremos é descobrir a derivada disto em relação a "x". Vou levar em consideração que você tentou, mas vamos trabalhar juntos nisso. Se "y" é o arcseno de "x", eu posso dizer que o seno de "y" é igual a "x". Agora, sim, temos coisas que somos um pouco mais familiarizados. E agora podemos determinar uma diferencial implícita. Podemos tirar a derivada de ambos os lados em relação a "x": a derivada do lado esquerdo em relação a "x" e a derivada do lado direito em relação a "x". Mas qual será derivada do lado esquerdo em relação a "x"? Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia. Isto será a derivada do seno de "y" em relação a "y", que será o cosseno de "y", vezes a derivada de "y" em relação a "x". Então, nós teremos dy/dx. E qual seria derivada de "x" em relação a "x"? Isto vai ser, obviamente, igual a 1. Agora podemos resolver para dy/dx, dividindo ambos os lados pelo cosseno de "y". Assim, teremos que a derivada de "y" em relação a "x" é igual a 1 sobre o cosseno de "y". Mas isto ainda não nos satisfaz, já que eu tenho a derivado em termos de "y" e o que eu quero é expressá-la em termos de "x". Como nós poderíamos fazer isso? Já sabemos que "x" é igual ao seno de "y". Agora, que tal se pudéssemos reescrever esta expressão aqui embaixo, ao invés do cosseno de "y"? Que tal usarmos algumas identidades trigonométricas para reescrever em termos do seno de "y"? Eu acho que seria uma coisa muito boa, afinal de contas, "x" é igual ao seno de "y". Mas como podemos fazer isso? Sabemos das identidades trigonométricas em que o seno ao quadrado de "y" mais o cosseno ao quadrado de "y" é igual a 1. Ou, se quisermos resolver para o cosseno de "y", basta subtrair pelo seno de "y" ao quadrado em ambos os lados da expressão. Agora sabemos que o cosseno ao quadrado de "y" é igual a 1, menos o seno ao quadrado de "y". Ou que o cosseno de "y" (vamos tirar a raiz quadrada em ambos os lados) vai ser igual à raiz quadrada de 1, menos o seno ao quadrado de "y". Agora nós podemos reescrever isto. Ao invés do cosseno de "y", podemos colocar: 1 sobre a raiz quadrada de 1, menos o seno de "y" ao quadrado. E por que isso é útil? Como sabemos, o seno de "y" é igual a "x". Então, isto é o mesmo... Se a gente substituir, e eu vou reescrever desta forma para ficar mais claro... Eu poderia escrever como seno de "y" ao quadrado, sabendo que isto é "x". Então, isto será igual a... rufem os tambores... 1 sobre a raiz quadrada de 1, menos "x" ao quadrado. Então, ao invés do seno de "y", nós podemos colocar um "x" ao quadrado aqui. Está aí. A derivado em relação a "x" do arcseno de "x" é igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1, menos "x" elevado ao quadrado. Eu vou deixar isto bem claro: se você tomar a derivada de ambos os lados em relação a "x", você terá dy/dx, que é igual a isto do lado direito. Ou poderíamos dizer que a derivada, em relação a "x", do arcseno de "x" é igual a 1 sobre a raiz quadrada de 1, menos "x" elevado ao quadrado. Agora você pode sempre tirar proveito disso se a sua memória falhar. E, de fato, este é o melhor jeito de realmente entender essas ideias. Mas é sempre bom saber isso, especialmente quando você se aprofundar um pouco mais em cálculo. Assim, você vai poder ver esta expressão e talvez diga: "Ah, calma aí! Esta é a derivada do arcseno de 'x'!" Então, isto pode pode ser muito útil.