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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 36: Diferenciação logarítmicaCálculo da derivada de funções exponenciais compostas
Neste vídeo, calculamos as derivadas de xˣ e x^(xˣ). Por incrível que pareça, é divertido calculá-las! Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- qual a derivada de: 1+sen(x)
_____
n(1 voto)- é só você fazer a derivada por partes. É uma soma, entao a derivada de uma soma é igual a derivada de cada um dos elementos! Qual a derivada de 1? Zero! Qual a derivada de sen(x)? É cosseno de x! 0 + cos(x) = cos(x).(4 votos)
- A regra do expoente não pode ser aplicada a uma função n^x assim como em x^n? Nesse caso d/dx de x^x seria x.x^(x-1)?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver derivadas
de função exponencial compostas. E, para isso, eu tenho um exercício aqui
que é bastante clássico. Que é encontrar a derivada da função "y"
igual a "x" elevado a "x". E queremos saber a derivada de "y"
em relação a "x". E quando você olha para isso, você vê que o expoente
não é uma constante. E aí, não podemos simplesmente utilizar
a regra de derivadas de polinômio. Então, como podemos resolver isso? O truque aqui é aplicar
o logaritmo natural a ambos os membros desta equação. Isso vai facilitar demais a nossa vida. E eu vou explicar o porquê
disso nos próximos vídeos. Mas aplicando o logaritmo natural a ambos os membros desta equação, nós vamos ficar com
lny igual a lnx elevado a "x". E em que isso ajuda? Simples, nesta parte nós podemos utilizar uma regra importante
de logaritmos. Este expoente aqui pode vir para frente
multiplicando o logaritmo. Então, vamos ficar com
lny igual a "x" vezes lnx. E aí, nós podemos aplicar a derivada
em relação a "x" em ambos os membros desta equação, ficando com a derivada
em relação a "x" de "lny" igual à derivada em relação a "x"
de "x" vezes "lnx". Nós devemos aplicar a regra da cadeia. Qual é a derivada disso em relação a "x"? Ou seja, qual é a derivada da função
interna em relação a "x"? É o que chamamos
de diferenciação implícita. E isso vai ser a mesma coisa que
a derivada de "y" em relação a "x", vezes a derivada disso aqui
com relação a esta função interna. A derivada do logaritmo natural
de "x" é 1/x, então, a derivada do logaritmo natural
de "y" em relação a "y" vai ser 1/y. Ou seja, multiplicamos isto por 1/y. Isso vai ser igual à derivada disso aqui
que podemos aplicar à regra do produto. E aí, vamos ter a derivada de "x"
em relação a "x", que é 1 vezes a segunda função
que é "lnx" mais a derivada da segunda a função. Ou seja, a derivada de "lnx" que é
1/x vezes a primeira função que é "x". E, com isso, vamos ficar com dy/dx
vezes 1/y que é igual a lnx + 1. Isso porque x/x vai dar 1. E ainda podemos multiplicar ambos os
membros desta equação por "y", ficando com o dy/dx que é igual a "y"
que multiplica lnx + 1. E se você não gostar deste "y" aqui,
você pode substituir por isso. E aí, você vai ficar com dy/dx
igual a "x" elevado a "x" que multiplica "lnx + 1". Este é um exercício
que é interessante, porque muitas vezes os
alunos olham para ele e pensam que é quase
impossível resolver, mas quando você aplica o logaritmo
a ambos os membros da igualdade, você pode ver que fica
bem mais fácil de resolver. E, claro, a minha ideia nesta aula é resolver uma equação
ainda mais complicada. Mas ver a solução desta aqui pode
te ajudar a entendê-la melhor. Deixe-me colocar ela aqui ao lado. Então, nós temos a equação "y"
igual a "x" elevado a "x", elevado a "x". E nós queremos saber a derivada
de "y" em relação a "x". Basicamente, nós vamos utilizar as mesmas ferramentas
para resolver esta derivada. Ou seja, de novo, nós vamos
aplicar o logaritmo, vamos ajeitar e depois aplicar a derivada. Então, aplicando o logaritmo natural
a ambos os membros desta equação, nós vamos ficar com "lny"
igual a "lnx" elevado a "x", elevado a "x". E, de novo, aplicando o que
chamamos de regra do peteleco, nós vamos ficar com
lny igual a "x" elevado a "x", vezes o "lnx". Mas ainda temos este "x"
elevado a "x" aqui. E nós já vimos como derivá-lo
neste exercício. Claro, você poderia aplicar
novamente o logaritmo natural a ambos os membros da equação, mas aí ia começar a ficar uma coisa
bastante complicada, não é? O ideal é utilizar o que já temos aqui. Claro que se você não tivesse
resolvido isso antes, você teria que aplicar
o logaritmo de novo. Mas como já temos este resultado, vamos continuar daqui. Então, aplicando a derivada
em relação a "x" a ambos os membros desta equação, vamos ficar com a derivada
em relação a "x" de "lny" que é igual à derivada
em relação a "x" de "x" elevado a "x" vezes lnx. E a derivada disso em relação a "x" é a derivada do logaritmo natural
de "y" em relação a "y", que é 1/y vezes a derivada
de "y" em relação a "x" que é dy/dx. Ou seja, nós utilizamos a regra da cadeia para derivadas implícitas que
é igual à derivada disso que podemos utilizar a regra do produto. Então, deixe-me colocar isto
aqui para não te confundir. Deixe-me colocar em outra cor. Então, a derivada em relação a "x"
de "x" elevado a "x", que é a primeira função vezes
a segunda função, que é "lnx", mais a derivada em relação
a "x" da segunda função que é "lnx" vezes a primeira função
que é "x" elevado a "x". E concentrando do lado direito, a derivada disso aqui nós já conhecemos. Então, eu posso substituir aqui
"x" elevado a "x" que multiplica lnx + 1. E multiplicamos isso por "lnx"
mais a derivada de "lnx" que é 1/x vezes "x" elevado a "x". E, claro, ainda tem 1/y
vezes dy/dx do lado esquerdo. E multiplicando ambos os membros
desta equação por "y", vamos ficar com dy/dx = y
que multiplica "x" elevado a "x" vezes lnx + 1,
que multiplica "lnx", mais esta parte, que eu posso
resolver invertendo esta parte. E aí, eu vou ficar
com "x" elevado a -1, que multiplicando por "x"
elevado a "x", vamos ficar com "x"
elevado a "x - 1". Porque eu repeti a base
e somei os expoentes. E, claro, se você não gosta
deste "y" aqui, você pode substituí-lo por isso aqui
ficando com dy/dx igual a "x" elevado a "x",
elevado a "x", que multiplica "x" elevado a "x"
vezes lnx + 1, vezes "lnx" mais "x"
elevado a "x - 1". É uma resposta bastante
complicada, não é? Mas se você não tivesse feito isso, ia ficar mais complicada ainda. Enfim, eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!