Cálculo da derivada de funções exponenciais compostas

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver derivadas de função exponencial compostas. E, para isso, eu tenho um exercício aqui que é bastante clássico. Que é encontrar a derivada da função "y" igual a "x" elevado a "x". E queremos saber a derivada de "y" em relação a "x". E quando você olha para isso, você vê que o expoente não é uma constante. E aí, não podemos simplesmente utilizar a regra de derivadas de polinômio. Então, como podemos resolver isso? O truque aqui é aplicar o logaritmo natural a ambos os membros desta equação. Isso vai facilitar demais a nossa vida. E eu vou explicar o porquê disso nos próximos vídeos. Mas aplicando o logaritmo natural a ambos os membros desta equação, nós vamos ficar com lny igual a lnx elevado a "x". E em que isso ajuda? Simples, nesta parte nós podemos utilizar uma regra importante de logaritmos. Este expoente aqui pode vir para frente multiplicando o logaritmo. Então, vamos ficar com lny igual a "x" vezes lnx. E aí, nós podemos aplicar a derivada em relação a "x" em ambos os membros desta equação, ficando com a derivada em relação a "x" de "lny" igual à derivada em relação a "x" de "x" vezes "lnx". Nós devemos aplicar a regra da cadeia. Qual é a derivada disso em relação a "x"? Ou seja, qual é a derivada da função interna em relação a "x"? É o que chamamos de diferenciação implícita. E isso vai ser a mesma coisa que a derivada de "y" em relação a "x", vezes a derivada disso aqui com relação a esta função interna. A derivada do logaritmo natural de "x" é 1/x, então, a derivada do logaritmo natural de "y" em relação a "y" vai ser 1/y. Ou seja, multiplicamos isto por 1/y. Isso vai ser igual à derivada disso aqui que podemos aplicar à regra do produto. E aí, vamos ter a derivada de "x" em relação a "x", que é 1 vezes a segunda função que é "lnx" mais a derivada da segunda a função. Ou seja, a derivada de "lnx" que é 1/x vezes a primeira função que é "x". E, com isso, vamos ficar com dy/dx vezes 1/y que é igual a lnx + 1. Isso porque x/x vai dar 1. E ainda podemos multiplicar ambos os membros desta equação por "y", ficando com o dy/dx que é igual a "y" que multiplica lnx + 1. E se você não gostar deste "y" aqui, você pode substituir por isso. E aí, você vai ficar com dy/dx igual a "x" elevado a "x" que multiplica "lnx + 1". Este é um exercício que é interessante, porque muitas vezes os alunos olham para ele e pensam que é quase impossível resolver, mas quando você aplica o logaritmo a ambos os membros da igualdade, você pode ver que fica bem mais fácil de resolver. E, claro, a minha ideia nesta aula é resolver uma equação ainda mais complicada. Mas ver a solução desta aqui pode te ajudar a entendê-la melhor. Deixe-me colocar ela aqui ao lado. Então, nós temos a equação "y" igual a "x" elevado a "x", elevado a "x". E nós queremos saber a derivada de "y" em relação a "x". Basicamente, nós vamos utilizar as mesmas ferramentas para resolver esta derivada. Ou seja, de novo, nós vamos aplicar o logaritmo, vamos ajeitar e depois aplicar a derivada. Então, aplicando o logaritmo natural a ambos os membros desta equação, nós vamos ficar com "lny" igual a "lnx" elevado a "x", elevado a "x". E, de novo, aplicando o que chamamos de regra do peteleco, nós vamos ficar com lny igual a "x" elevado a "x", vezes o "lnx". Mas ainda temos este "x" elevado a "x" aqui. E nós já vimos como derivá-lo neste exercício. Claro, você poderia aplicar novamente o logaritmo natural a ambos os membros da equação, mas aí ia começar a ficar uma coisa bastante complicada, não é? O ideal é utilizar o que já temos aqui. Claro que se você não tivesse resolvido isso antes, você teria que aplicar o logaritmo de novo. Mas como já temos este resultado, vamos continuar daqui. Então, aplicando a derivada em relação a "x" a ambos os membros desta equação, vamos ficar com a derivada em relação a "x" de "lny" que é igual à derivada em relação a "x" de "x" elevado a "x" vezes lnx. E a derivada disso em relação a "x" é a derivada do logaritmo natural de "y" em relação a "y", que é 1/y vezes a derivada de "y" em relação a "x" que é dy/dx. Ou seja, nós utilizamos a regra da cadeia para derivadas implícitas que é igual à derivada disso que podemos utilizar a regra do produto. Então, deixe-me colocar isto aqui para não te confundir. Deixe-me colocar em outra cor. Então, a derivada em relação a "x" de "x" elevado a "x", que é a primeira função vezes a segunda função, que é "lnx", mais a derivada em relação a "x" da segunda função que é "lnx" vezes a primeira função que é "x" elevado a "x". E concentrando do lado direito, a derivada disso aqui nós já conhecemos. Então, eu posso substituir aqui "x" elevado a "x" que multiplica lnx + 1. E multiplicamos isso por "lnx" mais a derivada de "lnx" que é 1/x vezes "x" elevado a "x". E, claro, ainda tem 1/y vezes dy/dx do lado esquerdo. E multiplicando ambos os membros desta equação por "y", vamos ficar com dy/dx = y que multiplica "x" elevado a "x" vezes lnx + 1, que multiplica "lnx", mais esta parte, que eu posso resolver invertendo esta parte. E aí, eu vou ficar com "x" elevado a -1, que multiplicando por "x" elevado a "x", vamos ficar com "x" elevado a "x - 1". Porque eu repeti a base e somei os expoentes. E, claro, se você não gosta deste "y" aqui, você pode substituí-lo por isso aqui ficando com dy/dx igual a "x" elevado a "x", elevado a "x", que multiplica "x" elevado a "x" vezes lnx + 1, vezes "lnx" mais "x" elevado a "x - 1". É uma resposta bastante complicada, não é? Mas se você não tivesse feito isso, ia ficar mais complicada ainda. Enfim, eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!