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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 28: Derivação de funções logarítmicas- Derivadas de sen(x), cos(x), tan(x), eˣ e ln(x)
- Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)
- Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia
- Cálculo da derivada de funções logarítmicas
- Derivação de funções logarítmicas usando propriedades dos logaritmos
- Derivada do log com base arbitrária
- Revisão da derivação de funções logarítmicas
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Derivação de funções logarítmicas usando propriedades dos logaritmos
Explorando nossos conhecimentos sobre logaritmos, podemos tornar certas derivadas muito mais fáceis de calcular. Versão original criada por Sal Khan.
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- Porque eu não cheguei no mesmo resultado, calculando primeiro o quociente da expressão de dentro depois, fazendo o In dessa expressão ?(1 voto)
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RKA1JV - Vamos supor que você
tenha uma função f(x) igual ao logaritmo natural
de x + 5 sobre x - 1. Vamos resolver de duas formas, da maneira mais fácil, e vamos resolver da maneira
mais complicada. Da maneira mais fácil, é você usar propriedade logarítmica. Ou seja, o logaritmo de uma divisão é o logaritmo da primeira, x + 5, menos o logaritmo da segunda, x - 1. Ora, para você tirar a derivada agora, pela regra da cadeia, você vai
ficar com 1 sobre x + 5, vezes a derivada de x + 5 que é 1, menos 1 sobre x - 1 vezes a derivada de x - 1 que é 1. E você já chegou na sua resposta. Essa é a maneira mais fácil. Agora vamos pela maneira complicada. Você tem o f(x) igual ao logaritmo
de x + 5 sobre x - 1, então, quem vai ser a derivada de f(x)? Pela regra da cadeia, você vai ter 1 sobre x + 5, sobre x - 1, vezes a derivada de x + 5 sobre x - 1, dx. Aqui, você pode, como você
está tendo o inverso, você pode ficar como x - 1
dividido por x + 5, vezes a derivada da divisão, prefiro fazer a derivada da multiplicação, ou seja, x + 5 vezes (x - 1)⁻¹, dx. Então vamos f'(x) igual a x - 1
vezes x + 5, vezes a derivada do primeiro
vezes o segundo, (x - 1)⁻¹, mais, isso aqui tudo está multiplicado. Mais o primeiro vezes
a derivada do segundo, que nós podemos usar
a regra da cadeia também. Ficamos com -1 sobre (x - 1)², isso tudo vezes a derivada
de x - 1, que é 1. Agora, vamos abrir esse parêntese todo. Vamos multiplicar os parênteses. Nós temos aqui x - 1
vezes x - 1, esse (x - 1)⁻¹ vai estar embaixo, então, você está simplificando,
isso vai ficar 1 sobre x + 5, menos x - 1 sobre x + 5, vezes x + 5 sobre (x - 1)². x + 5 corta com x + 5, x - 1 com o quadrado de x - 1. Ficamos com f'(x) como sendo 1 sobre x + 5 menos 1 sobre x - 1. Encontramos a mesma resposta que havíamos encontrado anteriormente. Obviamente, isto aqui nós
fizemos em dois passos enquanto essa nós fizemos em seis passos. Portanto, essa é a versão mais complicada. Essa é a versão mais simples. Mas matemática não tem erro. Ou seja, você faz de
uma maneira ou de outra e você chega na mesma resposta.