Derivação de funções logarítmicas usando propriedades dos logaritmos

RKA1JV - Vamos supor que você tenha uma função f(x) igual ao logaritmo natural de x + 5 sobre x - 1. Vamos resolver de duas formas, da maneira mais fácil, e vamos resolver da maneira mais complicada. Da maneira mais fácil, é você usar propriedade logarítmica. Ou seja, o logaritmo de uma divisão é o logaritmo da primeira, x + 5, menos o logaritmo da segunda, x - 1. Ora, para você tirar a derivada agora, pela regra da cadeia, você vai ficar com 1 sobre x + 5, vezes a derivada de x + 5 que é 1, menos 1 sobre x - 1 vezes a derivada de x - 1 que é 1. E você já chegou na sua resposta. Essa é a maneira mais fácil. Agora vamos pela maneira complicada. Você tem o f(x) igual ao logaritmo de x + 5 sobre x - 1, então, quem vai ser a derivada de f(x)? Pela regra da cadeia, você vai ter 1 sobre x + 5, sobre x - 1, vezes a derivada de x + 5 sobre x - 1, dx. Aqui, você pode, como você está tendo o inverso, você pode ficar como x - 1 dividido por x + 5, vezes a derivada da divisão, prefiro fazer a derivada da multiplicação, ou seja, x + 5 vezes (x - 1)⁻¹, dx. Então vamos f'(x) igual a x - 1 vezes x + 5, vezes a derivada do primeiro vezes o segundo, (x - 1)⁻¹, mais, isso aqui tudo está multiplicado. Mais o primeiro vezes a derivada do segundo, que nós podemos usar a regra da cadeia também. Ficamos com -1 sobre (x - 1)², isso tudo vezes a derivada de x - 1, que é 1. Agora, vamos abrir esse parêntese todo. Vamos multiplicar os parênteses. Nós temos aqui x - 1 vezes x - 1, esse (x - 1)⁻¹ vai estar embaixo, então, você está simplificando, isso vai ficar 1 sobre x + 5, menos x - 1 sobre x + 5, vezes x + 5 sobre (x - 1)². x + 5 corta com x + 5, x - 1 com o quadrado de x - 1. Ficamos com f'(x) como sendo 1 sobre x + 5 menos 1 sobre x - 1. Encontramos a mesma resposta que havíamos encontrado anteriormente. Obviamente, isto aqui nós fizemos em dois passos enquanto essa nós fizemos em seis passos. Portanto, essa é a versão mais complicada. Essa é a versão mais simples. Mas matemática não tem erro. Ou seja, você faz de uma maneira ou de outra e você chega na mesma resposta.