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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 28: Derivação de funções logarítmicas- Derivadas de sen(x), cos(x), tan(x), eˣ e ln(x)
- Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)
- Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia
- Cálculo da derivada de funções logarítmicas
- Derivação de funções logarítmicas usando propriedades dos logaritmos
- Derivada do log com base arbitrária
- Revisão da derivação de funções logarítmicas
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Derivada do log com base arbitrária
Por meio da regra da cadeia, é possível calcular a derivada de qualquer logaritmo com base na derivada de ln(x). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
Nós já sabemos que a derivada em relação a x do logaritmo natural de x é igual
a 1/x Mas o que dizer quanto a derivada, não do logaritmo natural de x, mas de um
logaritmo com uma base diferente? Digamos, que você escreva log na base b de x onde b é uma base qualquer de x onde b é uma base qualquer Como calculamos isto aqui? O truque aqui é re-escrever usando a fórmula para mudar a base ou seja, se nós escrevermos isto aqui
em termos de logaritmo Nós sabemos que log...
Eu só estou repetindo a mudança da base Eu vou mudar de log base b para log base e que na realidade é o logaritmo natural A fórmula para mudar de base pode ser achado em outro vídeo deste site Fique à vontade para pesquisar no site da
Khan Academy A fórmula da mudança de base nos diz que o log de x na base b é igual ao
log natural Se nós quisermos usar o log na base e O log natural de x, dividido pelo natural ou melhor, deixe me escrever como
log na base e por que assim fica mais claro o que eu
estou fazendo Log de x na base e dividido por log de b
na base e que é exatamente a mesma coisa que o
logaritmo natural de x dividido pelo logaritmo natural de b. Tudo o que temos que fazer é re-escrever
esta parte aqui Isto aqui é igual à derivada em relação a x, do log natural de x dividido
pelo log natural de b Ou talvez nós possamos até mesmo escrever
como 1 dividido pelo log natural de b multiplicado pelo log natural de x Aqui agora tudo fica muito simples Por que o que a gente tem aqui é, 1 dividido pelo log natural de b, que é
simplesmente uma constante multiplicada pelo log natural de x ou seja, nós podemos tirar isto
de dentro do colchete vejamos, isto é o mesmo que 1
dividido pelo log natural de b multiplicado pela derivada de x do log natural de x. E nós sabemos o que fazer com isto Este parte aqui é igual a 1/x Nós terminamos com 1 dividido pelo log
natural de b, multiplicado por 1/x Nós temos aqui 1 dividido pelo log natural de b multiplicado por 1/x, ou 1 dividido
pelo log natural de b, que é simplesmente um valor
multiplicado por x Agora, se alguém lhe perguntar o que é
a derivada com relação a x do logaritmo de x na base 5,
você já sabe Vai ser 1 dividido pelo log natural
de 5 vezes x. Simples assim! Legendado por [Celeste]