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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 37: Cálculo da derivada de funções paramétricas e vetoriaisDerivação de funções vetoriais
Visualizando a derivada de uma função vetorial de posição. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - No último vídeo, tivemos
um ótimo entendimento de como uma função
vetorial funciona. Ou melhor, como a posição
de uma função vetorial que é de certo modo
uma substituição para a parametrização
tradicional que descreve a cor. E o que eu quero
mostrar, neste vídeo, é o que significa tomar a derivada
de uma função vetorial. Neste caso, será com relação
ao nosso parâmetro "t". Eu vou fazer um
novo desenho aqui. Vamos dizer que eu tenho
a função vetorial r(t), e isso não é diferente do
que eu fiz no último vídeo. x(t) vezes o
vetor unitário "i", mais y(t) vezes
o vetor unitário "j". Se fizermos isso
em três dimensões, nós adicionamos
um z(t) vezes "k". Mas vamos deixar
as coisas mais simples e dizer que isso
descreve uma curva, e diremos ainda que, nessa curva
que estamos lidando, "t" está entre
"A" e "B". E a curva irá
parecer com isso. Eu vou desenhá-la, vou apenas
fazer aqui uma curva qualquer. Esta curva parece
com algo deste tipo. Isto é quando t = a,
e vai indo nesta direção. Bem aqui, isto
é quando t = a. Isto aqui é onde seria
x(a) e este seria y(a). Do mesmo modo, este seria
x(b) e aqui temos y(b). Vimos nos
últimos vídeos, que as extremidades destes
vetores estão decrescendo esta curva. Então, r(a), como vimos no último vídeo,
descreve este ponto aqui. Eu não quero
revisar tudo, mas o que eu quero é pensar sobre
qual a diferença entre estes dois pontos. Bom, vamos dizer que nós pegamos
alguns pontos aleatórios aqui. Digamos que temos um ponto "t" aqui,
que chamaremos de r(t). Na verdade, eu vou
fazer um ponto diferente, apenas para deixar
isso mais claro. Eu vou mudar a cor. Vamos dizer que esta direção
é o "r" de algum "t", algum "t" em
particular, bem aqui. Este é o r(t), ele será,
você sabe, a soma de algo. Isso é o que sabemos
sobre este "t". Digamos que queremos calcular
um acréscimo a "t" com "h". Dizemos, então,
r(t) + h. Bom, se nós virmos
o parâmetro "t" com o tempo, podemos notar que
ele se moveu à frente. Então, a nossa partícula
se moveu um pouco. E vamos dizer que estamos aqui,
isso em amarelo é r(t) + h. Apenas um valor um
pouco maior para "h". Uma questão que
devemos ter em mente é quão rápido "f"
está mudando em relação a "t". A primeira coisa que
queremos dizer poderia ser: qual é a diferença
entre estes dois? Se eu tomar "r",
pois quero visualizá-lo, eu quero
tomar "r", o vetor posição que estamos
avaliando como r(t) + h. E, a partir daí, subtrair r(t).
O que obtemos? Você poderia querer revisar
um pouco mais de álgebra vetorial, mas nós essencialmente
apenas vamos pegar este vetor. Deixe-me fazer isso
de uma cor vibrante. Nós vamos pegar
este vetor bem aqui. Eu farei isso
de cor magenta. Este vetor magenta bem aqui
é o vetor r(t + h) - r(t). Isso faz sentido, porque
quando você adiciona vetores, você liga o início de um
com o fim do outro. Você pode escrever isso
de forma alternativa como r(t) mais este termo bem aqui,
mais r(t + h) - r(t). Quando você
adiciona dois vetores, você estará adicionando
este vetor a este vetor aqui. Você coloca o início do segundo vetor
para o fim do primeiro. Então, este é o primeiro vetor
e eu coloco no fim do segundo, aqui. E a soma destes dois,
como dizemos, será igual a esse último,
será igual a r(t + h). Nós vemos que neste
caso e algebricamente, você verá que esta parte
e esta outra parte irão se cancelar. Eu espero que isso
satisfaça você. Eu quero ser claro, este pedaço
não é um vetor posição, não estamos dizendo que
se pegarmos o início deste cara e o colocarmos na origem,
descreveríamos uma posição única. Este pedaço, na verdade,
é apenas um tipo de vetor puro, ele está descrevendo apenas a mudança
entre a posição de dois outros vetores. Então, este cara
está bem aqui. Mas este vetor, literalmente,
descreve a mudança. Mas digamos que
nos importamos. Dessa forma, como
vamos olhar algebricamente se nós expandirmos
desta forma? Será a mesma coisa que "x" de,
deixe-me fazer isto aqui, isto é a mesma coisa que x(t + h)
vezes o valor unitário "i", mais y(t + h) vezes o vetor unitário "j",
que é justamente este pedaço. Esta parte, aqui,
é a parte menos esta parte. Então, menos. Eu vou fazer
a segunda linha. Eu posso ter feito isso,
mas estou sem espaço. -x(t) aplicando a distributiva
com o sinal de menos, teremos -y(t)
vezes "j". Eu vou escrever isso,
será menos. Escrevendo deste jeito,
mais isto. Você pode ver que isso
é justamente esta parte aqui, eu estou apenas
desenvolvendo em "t". Você tem x(t) e y(t),
mais tarde você poderá distribuir, certo? Se você distribuir este sinal de menos,
você terá um -x(t) e um -x(y(t)). Na adição de vetores, você pode
precisar de uma revisão nisso, caso não veja isso
por um tempo. Você sabe que pode apenas
adicionar os termos correspondentes. Você pode adicionar
os componentes "x" e adicionar
os componentes "y". Isso será
igual a "a". Deixe-me reescrever
isso aqui, porque eu acho que vou precisar
de mais espaço mais tarde. Eu tenho
r(t + h) - r(t) = a Eu vou apenas juntar os grupos
de componentes "x" e "y". Isso é igual às
componentes "x" juntas. Mas isso é negativo, então nós vamos
subtrair esta parte desta outra parte. Então, x(t + h) - x(t), tudo isso vez o nosso
vetor unitário na direção "x". E toda esta parte aqui
mais y(t + h) - y(t), vezes o vetor unitário
na direção "j". Eu estou apenas
rearranjando os termos, e irei dizer o que é a diferença
entre dois "r" quaisquer de uma distância dada. Nossa mudança de distância aqui é "h"
entre quaisquer dois vetores de posição. Agora, o que eu propus no início do vídeo,
eu disse que queria entender a mudança. E nós vamos pensar sobre a
mudança instantânea em relação a "t". Eu pergunto o quão rápido ocorre
essa mudança em um período "h". Se escrevêssemos Δt
em vez de "h", estaríamos dizendo
que esta mesma coisa, eu quero dividir
isso por "h". O que eu quero dizer é que
meus vetores mudaram dessa forma. Mas eu quero ver isso
em um período de "h". Isso é análogo à quando
nós calculamos a inclinação, dizemos que como muda
no caminho sobre Δy, ou mudamos em "y",
ou mudamos em "x". Esta parte da mudança na nossa função
é cada mudança em "x". Apenas dividiremos tudo.
Aqui a nossa mudança em "t" é "h", certo? A diferença entre (t + h) e "t"
será apenas "h". E vamos dividir
tudo por "h". Quando você multiplica
um vetor por um escalar ou divide por
algum escalar, você está apenas pegando cada
um dos componentes e multiplicando ou dividindo
por este escalar. E nós vamos
pegar isso aqui. Então, isso para qualquer
diferença finita bem aqui, "h", nos diz quanto o nosso vetor muda
por cada mudança em "h". Mas se nós queremos encontrar
a mudança instantânea, do modo como aprendemos
em cálculo diferencial, precisamos dizer que esta parte
é análoga à inclinação. Isso é bom, poderemos
trabalhar bem com isso se a parte em questão
parecer com algo assim, se ele tiver um
caminho linear. Se o nosso caminho parece
com algo deste tipo, nós podemos
calcular isso. Essencialmente, teremos
a variação média em nossa posição. Você pode imaginar
dois vetores, onde um deles, na verdade,
serão dois paralelos. Os vetores posição
não têm que ser paralelos, eles podem
ser assim. Deste modo, isso apenas descreve
uma mudança entre estes dois por "h". Ou o quão rápido
estes dois vetores mudam em cada acréscimo
do nosso parâmetro, certo? Em "h" você pode considerar
como parte de Δt, que algumas vezes achamos "h"
mais simples, outras achamos Δt. Mas, de qualquer modo,
eu estou preocupado com o instantâneo. Estamos lidando com
curvas, com cálculo. Estaria tudo bem se estivéssemos
em um mundo linear algébrico. Então, o que
nós faremos? Talvez, nós poderíamos tomar
o limite de "h" tendendo a zero. Então, vamos pegar o limite. Deixe-me fazer isso
com uma cor vibrante. Vamos pegar o limite
de "h" tendendo a zero dos dois lados
disso aqui. Eu também estou tomando
um limite de "h" tendendo a zero, e aqui também. Eu só quero dizer, bem,
isso acontece quando eu mudo. Para cada mudança
do meu parâmetro "t". Mas qual seria
a mudança instantânea? Qual é a diferença que
se torna cada vez menor? Isto é exatamente o que nós
aprendemos sobre inclinação instantânea ou velocidade instantânea,
ou inclinação de reta tangente. Essas coisas parecem um pouco
indefinidas para mim agora. Nós não definimos limites
para funções vetoriais, nem mesmo definimos a derivada
de uma função vetorial. Mas, para a nossa sorte, todo
esse raciocínio parece muito familiar. E esta é a nossa definição de derivada,
e estas são funções escalares bem aqui. Elas estão multiplicadas por vetores
para obtermos funções vetoriais. Mas isso aqui, pela
definição, é a derivada. Ela é x'(t) ou ainda
"dx" ou ainda dx/dt. Isto aqui é y'(t)
ou podemos escrever dy/dt. Dessa forma,
podemos definir, nós podemos dizer
que com tudo isso eu quero passar para você
uma visão mais intuitiva do que qualquer
outra coisa. Nós podemos dizer
que a derivada, chamamos esta
expressão aqui de derivada da minha função
vetorial "r" em relação a "t" ou nós podemos
chamar de dr/dt. Repare que mantém
o sinal do vetor aqui, isto é derivado e tudo
passa a ser igual a, r'(t) será
igual a "a". Bem, esta é a derivada de "x"
em relação a "t", é igual a "a", x'(t) vezes o vetor unitário de 'x",
o vetor unitário horizontal. Mais y'(t) vezes o vetor
unitário de "y", vezes "j". O vetor unitário
na direção horizontal. Este é um resultado
bonito e simples, mas pode ser difícil de
se visualizar o que representa. Se pensarmos sobre
o que acontece, deixe-me desenhar
um grande gráfico, apenas para termos
a visualização facilitada. Digamos que a minha curva
se pareça com algo deste tipo. Esta é a minha curva,
vamos dizer que isso é, nós queremos descobrir a mudança
instantânea neste ponto aqui. Este é r(t) e se nós
tomarmos r(t + h), poderemos ter algo como isso aqui. Logo, este r(t + h), agora,
a diferença entre estes dois, quão rápida é a mudança deste vetor
para este em relação a "t". E isso é difícil de
se visualizar aqui. Eu farei alguns vídeos para
pensarmos sobre a magnitude disso. Isso pode
ser algum vetor. Bem, a diferença entre
estes dois é justamente essa. Mas quando nós dividimos isso por "h",
isso será um vetor maior, certo? Isso se nós assumimos que "h"
é um número pequeno Vamos dizer que
"h" é menor que 1. Nós iremos tomar
um vetor maior, certo? Mas é um tipo de média que
muda ao longo do tempo. Mas com "h" cada
vez menor e menor, este r'(t) está indo, a direção
está tornando tangente à curva. Eu acho que você
pode visualizar, certo? Quando estes dois vetores
se aproximam cada vez mais, os d(r) se tornam
menores. Então, a mudança d(r),
diferença entre estes dois, os Δr se tornam
menores e menores. E você pode imaginar, se "h" for menor,
ele estava bem aqui. Logo, a diferença
entre esses dois vetores está ficando menor e ficando
cada vez mais tangente à curva. No entanto, nós ainda estamos
dividindo por um "h" pequeno. De modo que a derivada como limite
de "h" se aproximando de zero, poderia ser
um número grande. Na verdade, a magnitude deste vetor
é bem difícil de se visualizar. Isso irá depender
da parametrização da curva e não depende
da forma da curva. A direção deste vetor
depende da forma da curva, e a direção será
tangente à curva. Ou você pode imaginar que este
vetor é a linha que tange a curva. A magnitude é um pouco
mais difícil de se entender. Eu vou tentar dar a você um pouco
de intuição no próximo vídeo. Mas isso é o que eu quero
que você entenda agora, porque nós iremos
usar isso no futuro quando virmos a integral
de linhas sobre funções vetoriais.