Cálculo da derivada de produtos

RKA14C Então, vamos ver se conseguimos encontrar a derivada em relação a x, de eˣ vezes cos x. Como sempre, pause o vídeo e tente resolver sozinho. Bom, quando olha para isso, você pode dizer: "Bem, eu sei como encontrar a derivada de eˣ". Vou escrever isso aqui, já que já sabemos isso. Sabemos que d/dx eˣ = eˣ. Nós também sabemos como encontrar d/dx (cos x), e sabemos que isso é igual a -sen x. Nós sabemos disso. E como vamos encontrar a derivada do seu produto? Como você pode imaginar, vamos usar a regra do produto. Então, deixe-me escrever a regra do produto aqui. Se tomarmos a derivada em relação a x da primeira expressão em termos de x, que poderíamos chamar de u(x), vezes a outra expressão que envolve x, então, seria u(x) vezes v(x). Estou usando cores diferentes para você poder acompanhar mais facilmente. Então, isso vai ser igual à derivada da primeira expressão. E eu poderia escrever como u'(x) vezes a segunda expressão... Não é a derivada da segunda expressão, é apenas a segunda expressão, então, vezes v(x), mais a primeira expressão, não a derivada, só a primeira expressão, u(x), vezes, agora sim a derivada da segunda expressão, v'(x). Bom, uma maneira para se lembrar disso é que você tem duas coisas aqui e vai ter dois termos ali. Você vai ter a derivada de um, mas não a do outro. No outro termo, vai ter o termo vezes a derivada do outro. Por isso u'(x) vezes v(x) mais u(x) vezes v'(x). Olhando para este resumo pode até parecer um pouco confuso, mas é por isso mesmo que temos um exemplo supertangível aqui. Eu codifiquei essas cores de forma proposital, porque u(x) pode ser entendido, então, como e(x), e v(x) pode ser entendido como cos x. Então, cos x = v(x). Bom, se u(x) = eˣ, então, para u'(x), já sabemos o resultado também: u'(x) = eˣ. Se v(x) = cos x, então, v'(x) = -sen x. Então, isto aqui vai ser igual ao quê? Agora, é só uma questão de substituir. Nós já sabemos então que u'(x) é igual a eˣ, vezes v(x), que é cos x, mais u(x), que é igual a eˣ, então, vamos colocar aqui eˣ, vezes v'(x), que é igual a -sen x. Sei que pode parecer um pouco confuso porque eˣ é a sua própria derivada, mas este termo à esquerda é a derivada, e o termo ali à direita vai ser a própria expressão. Mas isso que é interessante nesta expressão, nesta função aqui: são coisas diferentes, mas são a mesma coisa. E isso pode nos ajudar a simplificar! Então, isto aqui vai ser igual a: eˣ vezes cos x menos eˣ vezes sen x. Se você quiser, pode fatorar isto aqui. Então, ficaria assim: eˣ vezes (cos x - sen x). Espero que agora, com isso, a regra do produto tenha ficado um pouco mais tangível para você. Uma vez que tem isso em seu cinto de ferramentas, há toda uma classe mais ampla de funções e expressões que podemos começar a diferenciar.