Demonstração da regra do produto

RKA4JL - Neste vídeo vamos provar a derivada do produto de duas funções. A derivada de uma função, a derivada df(x)/dx, é igual ao limite, quando h tende a zero, de f(x) mais h menos f(x) sobre h. Isso a gente pode escrever também como f'x. Partindo desse princípio, nós temos agora como fazer a derivada do produto, a derivada de uma função (f(x) vezes g(x)) dx. Isso vai ser igual ao limite de h tendendo a zero de quem? De f(x) mais h g(x) mais h menos f(x) g(x) e isso tudo sobre h. Tudo bem. Só que aqui nós podemos fazer uma maneira um pouco diferente para tentar ver uma forma de chegarmos na regra do produto. Vamos colocar o limite de h tendendo a zero. Vamos escrever a mesma equação, só que neste numerador vamos somar e subtrair duas parcelas, ou seja, não vamos mexer no numerador. Mas você vai ver porque nós vamos fazer isso. Então você tem f(x) mais h g(x) mais h menos f(x) mais h g(x) mais f(x) mais h g(x) e vamos repetir menos f(x) g(x). Quase que não deu. E isso tudo sobre h. Agora veja: neste termo nós podemos colocar em evidência f(x) e neste termo podemos colocar em evidência g(x). Então vamos ficar com o limite de h tendendo a zero de f(x) mais h vezes g(x) mais h menos g(x), colocamos em evidência o f(x) mais h e isso tudo sobre h mais o limite, porque o limite da soma é a soma dos limites, então nós temos o limite de h tendendo a zero de quem? Agora vamos colocar g(x) em evidência. Temos g(x) multiplicado por f(x) mais h menos f(x). Isso tudo sobre h. Então, agora, nós temos um limite de uma multiplicação. Façamos o seguinte: vamos tirar essa multiplicação e deixar o h só nesse segundo termo, ou seja, ficamos com limite de h tendendo a zero de f(x) mais h vezes o limite de h tendendo a zero de g(x) mais h menos g(x) (você deve estar vendo pra aonde isso vai) mais limite de h tendendo a zero de g(x) vezes o limite de h tendendo a zero de f(x) mais h menos f(x), e isso tudo sobre h. Este cara aqui, quando h tende a zero, você tem que f(x) mais h, h tendendo a zero, é o próprio f(x). Limite de g(x) mais h menos g(x) sobre h, quando h tende a zero, é a definição da derivada, ou seja, aqui é a derivada de g(x), mais limite de g(x), quando h tende a zero, g(x) não depende de h, então é o próprio g(x) vezes... O limite de f(x) mais h menos f(x) sobre h, quando h tende a zero, é a definição da derivada, portanto é a derivada de f(x). Então nós vamos ter que a derivada do produto, a derivada de f(x) g(x), vai ser igual ao primeiro vezes a derivada do segundo mais o segundo vezes a derivada do primeiro. Assim nós provamos a regra da derivada da multiplicação de duas funções.