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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)

Lição 22: Regra do quociente

Revisão da regra do quociente

Revise seus conhecimentos sobre a regra do quociente para derivadas, e use-os para resolver problemas.

A regra do produto nos diz como derivar expressões que são o quociente de duas outras expressões mais simples:

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}}

Basicamente, você toma a derivada de

f

multiplicada por

g

, e subtrai

f

multiplicada pela derivada de

g

Quer saber mais sobre a regra do quociente? Veja este vídeo.

Considere a seguinte derivada de

\frac{sen (x)}{x^{2}}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (\frac{sen (x)}{x^{2}}) \\ = \frac{\frac{d}{d x} (sen (x)) x^{2} - sen (x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{(x^{2})^{2}} & Regra do quociente \\ = \frac{\cos (x) \cdot x^{2} - sen (x) \cdot 2 x}{(x^{2})^{2}} & Derive sen (x) e x^{2} \\ = \frac{x (x \cos (x) - 2 sen (x))}{x^{4}} & Simplifique \\ = \frac{x \cos (x) - 2 sen (x)}{x^{3}} & Cancele os fatores comuns \end{aligned}

Problema 1

f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}

f^{'} (x) =

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Suponha que recebemos esta tabela de valores:

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍
$4$ ‍	$- 4$ ‍	$- 2$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

H (x)

é definida como

\frac{f (x)}{g (x)}

, e temos que encontrar

H^{'} (4)

A regra do quociente nos diz que

H^{'} (x)

\frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

. Isso significa que

H^{'} (4)

\frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}}

. Agora vamos substituir os valores da tabela na expressão:

\begin{aligned} H^{'} (4) & = \frac{f^{'} (4) g (4) - f (4) g^{'} (4)}{[g (4)]^{2}} \\ = \frac{(0) (- 2) - (- 4) (8)}{(- 2)^{2}} \\ = \frac{32}{4} \\ = 8 \end{aligned}

Problema 1

$x$ ‍	$g (x)$ ‍	$h (x)$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍
$- 2$ ‍	$4$ ‍	$1$ ‍	$- 1$ ‍	$2$ ‍

F (x) = \frac{g (x)}{h (x)}

F^{'} (- 2) =

Quer resolver mais problemas como esse? Confira esse exercício.

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