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Conte√ļdo principal

Normal a y=ūĚĎíň£/x¬≤

Neste v√≠deo, encontramos a equa√ß√£o da reta normal √† curva y=eň£/x² no ponto (1,e). Vers√£o original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Temos a fun√ß√£o de f(x) que √© igual a "eň£" sobre "x¬≤". Neste v√≠deo, eu quero encontrar a equa√ß√£o n√£o da linha tangente, mas a equa√ß√£o da reta normal quando "x = 1". Ent√£o, n√≥s queremos a equa√ß√£o da reta normal. Agora, eu sugiro que voc√™ pause o v√≠deo e tente fazer isto sozinho. Se precisar de uma dica, eu posso dizer que a inclina√ß√£o da reta normal, eu posso dizer que a inclina√ß√£o da reta normal ser√° a rec√≠proca negativa da inclina√ß√£o da linha tangente. Se voc√™ imaginar uma curva assim e quiser achar a tangente de certo ponto, ela vai se parecer com isto aqui. A linha tangente se parecer√° com isso, a reta normal √© perpendicular √† tangente, essa √© a tangente e essa √© a normal. Ent√£o, a reta normal vai ser perpendicular a esta. Deste jeito. E se esta aqui tem uma inclina√ß√£o de "m", a rec√≠proca negativa de "m" ser√° -1/m. Ent√£o, esta √© a dica. Eu sugiro que voc√™ encontre a equa√ß√£o da reta normal desta curva, quando x = 1. Ok, vamos l√°! Vamos encontrar a inclina√ß√£o da tangente tirada da rec√≠proca negativa dela. Assim, encontramos a inclina√ß√£o da normal. Para encontrar a inclina√ß√£o da tangente, tiramos a derivada e avaliamos quando x = 1. Assim, f(x) = "eň£" vezes "x‚ĀĽ¬≤". Ent√£o, a derivada de f'(x) ser√° a derivada de "eň£" que √© apenas "eň£", vezes "x‚ĀĽ¬≤" mais "eň£" vezes a derivada de "x‚ĀĽ¬≤", que √© "-2x‚ĀĽ¬≥". Eu apenas fiz uso da regra dos expoentes aqui. Ent√£o, se eu quero avaliar quando x = 1, isso ser√° igual a, deixe-me usar a cor amarela aqui. Ser√° igual a e¬Ļ, que √© apenas "e", vezes 1‚ĀĽ¬≤ que √© apenas 1. Mais e¬Ļ que √© apenas "e", vezes -2 vezes 1‚ĀĽ¬≥. Ent√£o, vai ficar igual a -2. Ent√£o, vamos ter "e" vezes -2 que d√° -2e. Ent√£o, vai ter "e" menos "2e" que √© igual a "-e". Ent√£o, isto aqui vai ser a inclina√ß√£o da reta tangente quando x = 1. E a inclina√ß√£o da reta normal vai ser a rec√≠proca negativa disto aqui. Ent√£o, como eu disse antes, a rec√≠proca negativa disso vai ser -1 sobre isto aqui. Ent√£o, como √© -1/-e vai dar 1/e. Ent√£o, esta aqui √© a nossa rec√≠proca negativa, √© a nossa inclina√ß√£o da reta normal. O nosso objetivo era encontrar a inclina√ß√£o da reta normal e a f√≥rmula desta reta. E sabemos que a f√≥rmula de uma reta pode ser escrita como y = mx + b. No qual "m" √© a inclina√ß√£o. Ent√£o, podemos dizer que ser√° igual y = 1/e. Estamos fazendo a reta normal vezes x + b. E para encontrar o "b", n√≥s precisamos apenas conhecer um ponto que atravessamos. A reta atravessa o ponto x = 1. Quando x = 1, qual √© o "y"? Bom, o "y" √© "e" elevado a 1/1, que √© "e". Ent√£o, isso atravessa o ponto 1e. Sabemos que quando x = 1, y = e. Agora, n√≥s podemos encontrar o "b". Ent√£o, temos que e = 1/e + b. N√≥s podemos subtrair "1/e" dos dois lados. Ent√£o, ter√≠amos que b = e - 1/e. Podemos escrever e¬≤ - 1/ e, ou podemos simplesmente deixar desta forma. Ent√£o, eu acho que agora n√≥s podemos comemorar, porque finalmente temos a equa√ß√£o da linha normal. N√≥s sabemos que y = 1/e vezes x + b. E n√≥s sabemos o "b". Acabamos de descobrir b = e -1/e. Ent√£o, esta aqui √© a nossa equa√ß√£o da reta normal.