Exemplo resolvido: tangente ao gráfico de 1/x

RKA2G - Em termos de "k", onde "k" é diferente de zero, em que ponto a tangente à curva f(x) = 1/x intercepta o eixo "y", quando x = k? Vamos ver o que ele está falando. Nós temos aqui o eixo "y", temos aqui o eixo "x" e a curva é 1/x. Essa curva é mais ou menos assim. Ela faz um negócio mais ou menos assim deste lado e, deste lado, mais ou menos assim. Vamos pegar um ponto "k" qualquer aqui. Vamos pegar um ponto "k" qualquer. Esse ponto "k" vai ter uma correspondência, que vai ser 1/k. A tangente vai ser a derivada desta curva neste ponto. A inclinação dessa tangente vai ser isto. Vai ter esta tangente passando por este ponto e ele quer saber que ponto é este. Este ponto é um ponto do tipo y = mx + b, quando "x" for zero. Quando "x" for zero, queremos saber o "b". Este "m" é a inclinação. Portanto, a gente vai pegar a derivada. Vamos pegar a derivada desta curva. Vai ser o f'(x), que vai ser o quê? Ora, f(x) nós podemos escrever como "x" elevado a -1. Então, pela regra da potência, vamos passar o -1 para cá, vezes "x" elevado a -2. Diminuímos 1 no expoente. Ou podemos escrever simplesmente 1/x², ou seja, -1/x². No ponto "k", a inclinação dela vai ser f' do ponto "k", ou seja, vai ser -1/k². Já sabemos qual é o "m" no ponto "k". O "m" no ponto "k" vai ser 1/k², aliás, -1/k². Agora, queremos saber esta equação. Já sabemos o "m", vamos saber o "b". E nós sabemos o ponto. Quando "x" for "k", "y" vai ser 1/k. Portanto, no lugar de "y", vamos colocar 1/k. A inclinação a gente já sabe, vai ser -1/k². Vezes "x", que vai ser "k", mais "b". Simplificando este "k" com este "k", vamos ter 1/k = (-1/k) + b. Somando (1/k) de ambos os lados, vamos ter 2/k = b. Este é o ponto que ele corta. Este ponto vai ser 2/k. Vamos escrever a equação completa. Como fica a equação completa da reta tangente? "y" é igual à inclinação neste ponto, que é -1/k², vezes x + b. Quem é "b"? É 2/k. E aqui nós temos a equação da reta tangente. Quando "x" for zero, "y" é igual a 2/k. E terminamos.