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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 4: Retas secantes- Coeficiente angular de uma reta secante à curva
- Reta secante com diferença arbitrária
- Reta secante com ponto arbitrário
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários
- Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)
- Reta secante com ponto arbitrário (com simplificação)
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários (com simplificação)
- Retas secantes: desafio 1
- Retas secantes: desafio 2
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Retas secantes: desafio 2
Neste vídeo, interpretamos uma expressão como o coeficiente angular de uma reta secante entre um ponto específico em um gráfico e outro ponto qualquer neste gráfico. Versão original criada por Sal Khan.
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- Por que no segundo item a resposta não podia ser A?(1 voto)
- a pergunta é, qual a maior inclinação da reta secante do ponto A para outro ponto, no caso é de A para D,
não tem como ser de A para A por que não seria uma reta, seria um ponto(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C Para quais pontos do gráfico temos f(x) vezes f'(x) = 0? Primeiramente, se o produto de
dois termos é igual a zero, isso quer dizer que um desses dois termos
tem que ser igual a zero. Vamos começar procurando para
qual ponto temos isto aqui: f(x) = 0. Bom, vamos olhar
o gráfico da função imaginando que y = f(x). Vamos colocar aqui x
no eixo horizontal. E os valores da função
no eixo vertical, no eixo y. Vamos lá! Quando x = 0, a função está
passando aqui em cima, no ponto A. Então, o valor da função de f(x) = 6. Se fizermos isso, se os valores de x
forem variando aqui, os valores da função
vão diminuindo, mas ainda assim são positivos. Bom, chegando nesta parte
eles começam a aumentar, então continuam positivos. Aqui, temos uma nova queda. Com essa queda,
ele encontra o eixo x aqui. Então, neste ponto aqui
temos que f(x) = 0. Entretanto, esse ponto não é
nenhum destes pontos aqui que foram selecionados
para a gente de A até F. Aqui, queremos colocar
um desses pontos de A até F. Portanto, vamos ter
que passar aqui... Vamos mudar o nosso foco para f'(x). Vamos então fazer f'(x) = 0. Bom, vamos relembrar primeiro
o que representa f'(x). A f'(x) representa a inclinação
da reta tangente para aquele valor de x. Por exemplo,
se eu tomo x = 0... Estamos com o gráfico
passando no ponto A. Então, a inclinação da reta tangente
vai ser um valor negativo. Se tomarmos x = 4,
por exemplo, vamos ver que aqui
está passando pelo ponto C. Então, se eu fizer a reta tangente
ao gráfico neste ponto aqui, vamos ver que já vai dar
um valor positivo. O que queremos é que f'(x) não dê
nem positivo e nem negativo. Queremos que dê zero. Bom, se f'(x) vai ser zero, a inclinação
da reta tangente tem que ser zero. Mas como fica uma reta
com inclinação zero? Bom, se uma reta tem inclinação zero,
é porque ela é uma reta horizontal. Vamos ter que procurar
um ponto aqui desses que foram
selecionados para nós. Vamos procurar quais deles, para qual ponto aqui, temos a inclinação da reta
tangente igual a zero. Ou seja, a reta tangente vai ser
uma reta horizontal. O único desses em que parece
acontecer isso é o ponto B. Então, aqui no ponto B,
a inclinação da reta tangente realmente parece ser igual a zero, parece ser uma reta horizontal
essa reta tangente. Uma outra forma de
você olhar aqui é que a taxa de variação instantânea
para quando x = B, é praticamente igual a zero. Então, aqui temos que a inclinação
da reta tangente para x = 2, no ponto B, vai ser igual a zero. Logo, a resposta que temos
que colocar aqui é o ponto B. Deixa-me trocar a cor para ver
se fica um pouco mais nítido. Então, aqui é o ponto B. Ficou bem melhor! Bom, vamos lá.
Vamos ver agora esta expressão. Para qual ponto do gráfico
temos f(x) - 6 sobre x com o valor máximo? Bom, se você se deparar
com uma expressão desse tipo, principalmente se você estiver
em uma aula de cálculo diferencial, pode perceber que ela
lembra muito a expressão que usamos para calcular
a inclinação da reta secante entre dois pontos de uma curva. Então, aqui seria a variação
que temos em y, estamos fazendo a função aplicada
em um certo valor de x menos a função aplicada
em um outro valor de x, sobre x menos esse outro valor
que estávamos considerando para x. Como não temos nada,
aqui é x - 0. Então, se aqui f(0) = 6, beleza, já podemos
interpretar isso dessa forma. Como temos (0, 6) aqui
fazendo parte do nosso gráfico, quando x = 0, a função vale 6, então, f(0) = 6, e podemos interpretar isso como sendo uma forma
de calcular a inclinação da reta secante
entre dois pontos. Vamos escrever isso
para ficar mais claro. Vou escrever aqui, então: f(x) - 6 sobre x - 0. E o que essa expressão
representa para a gente? Isso é a inclinação da reta secante que passa pelo pontos... Ela é a reta secante
que passa pelos pontos... Então, temos os pontos (x, f(x)) e também o ponto (0,6). Como esse ponto (0, 6)
é o ponto A... x = 0 e y = 6, estamos aqui no ponto A. Então, vamos desenhar agora
as retas secantes entre A e estes outros pontos
que temos aqui. Vamos variar para os pontos
selecionados aqui para ver quais deles
podemos colocar na resposta, para ver se conseguimos responder
o que está aqui embaixo. Vamos fazer isso. Então, entre A e B aqui, se fizermos a reta secante
que passa por A e por B, vamos ver que a inclinação
dessa reta é negativa. Se fizermos aqui entre A e C... Então, vamos fazer a inclinação da reta
que passa por A e por C. Essa reta secante
passando por A e por C também tem uma inclinação negativa. Mas repare que esta aqui
era bem inclinada negativamente. Já esta aqui está menos
inclinada negativamente. Portanto, a inclinação aqui
está aumentando. O valor da inclinação
está aumentando. Agora, se desenharmos aqui
a reta secante passando por A e por D... Vamos fazer isso aqui. A reta secante aqui por A e por D. Quando fazemos a reta secante
por A e por D, vemos que a inclinação dela
já é maior que das outras duas. Ela também tem inclinação negativa, mas é bem suave a inclinação dela. Ela é bem menos
inclinada negativamente, portanto, a inclinação já é
maior do que as outras duas. Vamos ligar agora o A com o E. Então, A com E. Aqui vamos ter a reta secante
passando por A e por E. E vemos que a inclinação
dessa reta secante passando por A e por E
já ficou aqui mais negativa que aquela reta que
passou entre A e D. Então, ela já está ficando
mais inclinada de novo, já está ficando menor a inclinação. Por fim, nós vamos fazer agora
a inclinação entre A e F. A reta secante aqui entre A e F. Então, vamos fazer
a reta secante entre A e F. Está bem longe
de chegar até lá no F... Se fizermos aqui
a reta secante entre A e F, vamos poder perceber que
a inclinação dessa reta secante vai ser mais negativa, ela vai ser menor que
as que já tínhamos feito para A e E e para A e D, principalmente. Então, vamos procurar... O que queremos aqui é quando
vamos ter a maior inclinação. Ou, neste caso, como são
todas negativas, seria a menos negativa,
digamos assim. Então, vamos ter isso acontecendo quando estivermos olhando
para o ponto D, que vimos que tem
a maior das inclinações. Ou, pelo menos,
a inclinação menos negativa. Então, quando pegarmos para x = 6, vamos ter f(6) aqui,
um pouco mais que 5 e meio. Vai ficar f(6), que é um pouco
mais do que 5 e meio, menos 6 sobre x,
que é 6 - 0. Então, esta expressão aqui
estará maximizada quando tomarmos x = 6. Então, no ponto D, vamos ter
a inclinação menos negativa para a reta secante
entre esses dois pontos.