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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 4: Retas secantes- Coeficiente angular de uma reta secante à curva
- Reta secante com diferença arbitrária
- Reta secante com ponto arbitrário
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários
- Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)
- Reta secante com ponto arbitrário (com simplificação)
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários (com simplificação)
- Retas secantes: desafio 1
- Retas secantes: desafio 2
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Reta secante com ponto arbitrário
Neste vídeo, encontramos o coeficiente angular da reta secante no gráfico de ln(x) entre os pontos (e,1) e (x,lnx). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Uma curva tem a equação
"y = ln x" e passa pelo ponto "P",
em que este ponto "P" tem as coordenadas (e, 1) e também pelo ponto "Q", em que este "Q", tem
as coordenadas (x, ln x). Escreva uma expressão em "x" que dê a inclinação da secante
que liga os pontos "P" e "Q". A primeira coisa que nós vamos fazer aqui é traçar os nossos eixos coordenados. Então, aqui a gente tem o "y" e aqui nós temos o nosso eixo "x". Deixe-me desenhar este "y" aqui
um pouco mais para baixo só para a gente ter uma
ideia legal do gráfico que representa esta função
"y = ln x". A primeira coisa que nós
podemos fazer aqui, o que nós precisamos fazer para
começar a plotar este gráfico "y = ln x" é buscar um ponto em que o "y"
se torne igual a zero. Ou seja, um ponto em "x",
um valor em "x" que faça o "y" ser igual a zero. Assim, a gente verá
o ponto em que o gráfico, em que a função passa aqui pelo eixo "x". E o ponto que faz o "y" ser igual a zero
é quando a gente tem "x = 1". Porque ln 1 = 0. Então, nós podemos até colocar aqui. Quando "x = 1", a gente vai ter o "y = 0". Então, este é o nosso ponto. Se você colocar valores aqui abaixo de 1, você vai ver que o "y"
vai se tornar negativo. Porque o logaritmo natural de números
entre zero e 1 são números negativos. E à medida que este "x" vai ficando
cada vez mais próximo de zero, o "y" vai se tornando cada vez
mais negativo e vai tendendo ao infinito. Assim, a gente consegue ter uma ideia de que este gráfico aqui vai ter algo,
mais ou menos, semelhante a isto aqui. Aqui, vai tendendo para o menos infinito e aqui sobe deste jeito. Claro, é só para a gente ter
uma ideia mais ou menos de como é este gráfico do y = ln x. Agora, o que nós queremos? A gente quer uma reta secante que passa por estes pontos
"P" e "Q", certo? O ponto "P" é bem definido. A coordenada "x = e",
e a coordenada "y = 1". Então, por exemplo, a gente tem
aqui a coordenada 1, mais ou menos aqui,
a gente vai ter o 2, mais ou menos aqui, o 3. E aqui, um pouquinho antes do 3, a gente tem esta coordenada "e", de uma forma em que este ponto aqui
tenha a coordenada "x = e" e o y = 1. Então, este daqui vai ser
o nosso ponto "P". E a gente quer a reta secante,
obviamente, que liga este ponto "P" a um
outro ponto "Q" arbitrário qualquer. Então, poderia pegar este ponto aqui,
por exemplo, em que este daqui seria
o nosso ponto "Q", em que a coordenada "x" é uma coordenada
arbitrária qualquer. A gente poderia pegar qualquer
outro ponto, tudo bem? E a nossa coordenada "y" é o "ln x". Então, este ponto "Q" tem as coordenadas (x, ln x). Nós queremos a inclinação da reta secante que liga estes dois pontos. Então, a gente pode traçar
aqui uma reta secante ligando estes dois pontos. Esta seria a nossa reta secante. E se a gente quer a
inclinação da reta secante, como que a gente consegue determinar isso? Através da variação no eixo "y" e a variação no eixo "x". Por exemplo, aqui na horizontal,
deste jeito, paralelo o eixo "x", a gente vai ter uma
variação no eixo "x". E aqui a gente vai ter uma
variação no eixo "y". A variação no eixo "x" aqui, neste caso, vai ser igual ao ponto final, que é "x", menos o ponto inicial, que é "e", menos a coordenada "x" inicial. E a variação no eixo "y" é a mesma coisa. A coordenada "y" no ponto final,
que é o ln x, menos a coordenada "y"
no ponto inicial que é 1. Agora, que nós já temos estas variações, a gente consegue determinar
a inclinação desta reta secante, dividindo a variação no eixo "y"
pela variação no eixo "x". Então, a nossa inclinação,
a inclinação desta reta secante, vai ser igual a Δy / Δx. Em que a variação no eixo "y"
é igual ao ln x menos 1 sobre a variação no eixo "x" que é "x" menos "e". Isto aqui corresponde
à inclinação da reta secante que liga estes dois pontos,
os pontos "P" e "Q".