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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 4: Retas secantes- Coeficiente angular de uma reta secante à curva
- Reta secante com diferença arbitrária
- Reta secante com ponto arbitrário
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários
- Reta secante com diferença arbitrária (com simplificação)
- Reta secante com ponto arbitrário (com simplificação)
- Retas secantes e taxa de variação média com pontos arbitrários (com simplificação)
- Retas secantes: desafio 1
- Retas secantes: desafio 2
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Retas secantes: desafio 1
Neste vídeo, resolvemos um problema desafiador envolvendo coeficientes angulares de retas secantes a uma curva. Versão original criada por Sal Khan.
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- Realmente não percebi qual relação a recta de coeficiênte 1 (do primeiro exercício) tem com a expressão 0<f(-a)<1(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Considere o gráfico
da função f(x) que passa por três pontos,
como demonstrado. Estes são os três pontos
e esta curva em azul é f(x). Identifique quais afirmações
são verdadeiras. E elas são, a primeira diz que
"f(-a) < 1 - f(-a)/a" Isso parece ser uma informação bizarra. Como podemos compreender se isso
é verdade diante disso aqui? Vamos, passo a passo, ver
se alguma coisa faz sentido. Então, f(-a), onde vemos isso aqui? Bem, isso aqui é o f(-a),
este é o ponto "x = -o" Este é "-o"
e este "y = f(-a)" . O que nós sabemos sobre f(-a) com base no que vemos no gráfico,
é que f(-a) está entre zero e 1, então podemos escrever que
"0 < f(-a) < 1". Logo, isso é tudo que posso deduzir
sobre f(-a) logo de início. Agora, vamos ver essa afirmação maluca. "1 - f(-a)/a". O que é isso? Bem, vamos pensar sobre o que acontece se nós pegarmos a secante, se tentarmos encontrar o coeficiente
da linha secante entre este ponto e este ponto. Se quisermos encontrar
a taxa média de mudança entre o ponto (-a, f(-a)) e o ponto (0, 1). E se esse nosso ponto final, nossa mudança em "y",
for "1 - f(-a)", então, "1 - f(-a)" é igual
à nossa mudança em "y''. Nossa mudança em ''x", saindo de "-a" para zero, será igual a zero - (-a), que é igual a "a'' positivo. Então, isso é basicamente
a nossa mudança em "x" sobre nossa mudança em ''y'',
desse ponto até este ponto. Esta é a nossa taxa média de mudança,
desse ponto para esse ponto, ou você diria que este
é o coeficiente da secante. Então, a linha secante seria algo como isso aqui. Então, isso é igual
à inclinação da secante do ponto (-a, f(-a)) ao ponto (0, 1). Então, olhando para o gráfico logo aqui, o que sabemos sobre essa
inclinação ou coeficiente? Em particular, o que podemos afirmar sobre aquele coeficiente em relação a,
digamos, zero ou 1? Ou algo assim? Vamos pensar sobre como uma linha
com coeficiente 1 se pareceria. Bem, a linha com coeficiente 1, especificamente uma que passou
por este ponto logo aqui, seria algo assim. Uma linha de coeficiente 1
se parceria como esta, então, esta linha logo aqui,
que eu acabei de desenhar, vai do ponto (-1, 0)
ao ponto (0, 1). Então, se a linha verde tem
um coeficiente de 1, essa linha azul tem
o coeficiente diferente, a linha azul é mais ou menos
inclinada que a linha verde? É visível que esta linha secante
é mais profunda que a linha verde, ela está aumentando rapidamente
e terá um coeficiente maior. Então, olhando este gráfico, nós podemos ver que esta linha azul tem o coeficiente maior do que 1, ou podemos dizer que o
coeficiente da linha secante de (-a, f(-a)) para (0, 1) será maior do que 1, então, isso aqui é maior do que 1. Bom, então, esta coisa aqui
é menor do que 1 e esta aqui é maior do que 1. Então, esta aqui é menor
do que aquela ali, então isto aqui é verdadeiro. Agora vamos comparar o
coeficiente da linha secante, que é isso aqui, e que tem o mesmo valor do segundo item
da questão anterior. Estamos comparando este
coeficiente com isso aqui f(a) - 1/a. Este é o coeficiente desta linha secante, vou tentar deixar com mais contraste. Vou fazer isso de laranja. Então, aquele é o coeficiente
desta linha secante, esta linha secante bem aqui. Então, qual delas tem
um coeficiente maior? Está bem claro que a linha secante azul
tem um coeficiente maior do que a laranja, mas o coeficiente azul é menor do que
o laranja na alternativa aqui, então, não pode ser verdadeiro,
isso não é verdade. E finalmente, vamos ver esta aqui. f(a) - f(-a)/2a. Este logo aqui é o coeficiente da secante entre, isso aqui é o coeficiente da secante entre este ponto aqui e este ponto aqui. A nossa mudança em "y"
é f(a) - f(-a), e a nossa mudança em "x"
é "a - (-a), que é 2a. Então, essa aqui é a nossa linha secante, bem aqui. Eles estão comparando aquele coeficiente
com este coeficiente aqui. Então, f(a) - 1 é nossa mudança em "y" e o "sobre a" é nossa mudança em "x". E você poderia imediatamente visualizar
esse tom marrom aqui. O caminho daqui para cá é claramente mais inclinado
que este outro aqui. Sabemos que a taxa média
da mudança daqui para cá será maior que a taxa média
da mudança daqui para cá, porque pelo menos, do "-a" ao zero nós fomos aumentando a uma taxa
muito mais rápida, e então, desaceleramos para essa taxa. A taxa sobre o intervalo inteiro
será definitivamente maior do que a que temos do zero ao "a". Então, esta alternativa
também não é verdadeira. Nós já sabemos, então, que ela é falsa. Estas duas seriam verdadeiras
se nós trocássemos os sinais. Então, a única alternativa
que se aplica é a primeira.