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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 16: Derivadas de seno e cossenoDerivadas de sen(x), cos(x), tan(x), eˣ e ln(x)
Aprenda as derivadas de várias funções comuns. Versão original criada por Sal Khan.
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- Olá, nesse momento estamos focados na tradução do conteúdo de matemática do ensino básico. Esperamos poder ao menos legendar os vídeos de matemática mais avançada em breve.(6 votos)
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Vamos pegar algumas derivadas trigonométricas mais comuns e algumas derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, observando no gráfico o que está acontecendo. Vamos pegar a derivada do seno de x, vamos pegar derivada do cosseno de x, vamos pegar a derivada da tangente de x, vamos pegar a derivada de e elevado a x e vamos pegar a derivada do logaritmo natural
do módulo de x. A derivada do sen x é cos x, a derivada do cos x vai ser -sen x, a derivada da tan x
será 1 sobre (cos² x), ou a sec²x, a derivada de eˣ é muito interessante porque é o próprio eˣ e a derivada do logaritmo natural do módulo de x é 1 sobre x, ou x⁻¹. 1/x e x⁻¹ são interessantes porque aqui existe uma lacuna na regra do expoente. Se quiséssemos integrar,
nós teríamos que somar 1 no expoente e dividir por 1 menos 1,
que seria zero, ou seja, é interessante que a integral de 1/x
vai ser o logaritmo natural do módulo de x. Agora vamos ver graficamente o que está acontecendo
com cada uma dessas funções. Vamos ver essa primeira função, a derivada do sen x igual ao cos x. Nós temos aqui em roxo sen x e temos em vermelho a sua derivada,
que é cos x. Verifique que a inclinação de sen x,
quando x está próximo de zero, vale 1 e, realmente, sua derivada vale 1. Aqui nós temos a derivada. Quando ela for zero,
significa que a função não tem inclinação nenhuma, é zero. Antes dela, é positivo, portanto ela tem a inclinação positiva,
a função tem a inclinação positiva, depois desse ponto ela é negativa,
sua derivada é negativa, portanto ela tem uma inclinação negativa. Vamos ver a outra função. Vamos ver agora em roxo o cos x e em vermelho sua derivada. Então nós temos que agora o cos x é a nossa função
e a derivada é -sen x. Verifique que quando a sua derivada é zero,
sua inclinação é zero. Aqui, quando a derivada é positiva,
a inclinação da função é positiva e quando a derivada é negativa,
a inclinação é negativa. Até que ela passe por esse ponto,
a função passa por um ponto cuja inclinação é -1. Realmente aqui vamos ter o valor -1 como inclinação. Vamos ver a próxima função. A nossa função é a tangente
e ela se comporta dessa forma. Aqui a inclinação é 1,
então temos que a sec² vai valer 1. A partir daqui, isso é nossa derivada, então a derivada antes e depois
é sempre positiva. Realmente a inclinação da tangente é sempre positiva. Então é a sec²
e ela é sempre positiva. Vamos ver agora a função eˣ. Na função eˣ,
a sua derivada é o próprio eˣ, ou seja, a função que está em roxo
se confunde com sua derivada que está em vermelho. Isso significa que em qualquer ponto a inclinação dessa curva
é igual ao valor da própria curva. Por exemplo, quando x for zero, e⁰ é 1, o que significa que nesse ponto
a inclinação dessa curva vale 1. Quando x for 1, a função vai valer e¹ , ou seja, essa inclinação
vai ser uma inclinação exatamente igual ao valor da função. Quando x tende a menos infinito,
a inclinação é próxima de zero, então o valor da função é próximo de zero
e a inclinação também é próxima de zero. Essa é uma função bem interessante. Vamos ver, agora,
a função do logaritmo do módulo de x. Nós temos aqui em roxo a função logaritmo do módulo de x e temos em vermelho 1/x. Então verificamos que a derivada aqui é negativa. Realmente, a função logarítmica do módulo de x
é sempre inclinada para baixo enquanto ela está no lado negativo. Do lado positivo, 1/x sempre é positivo, então a inclinação do logaritmo é sempre positiva. Verifique que à medida que x vai crescendo,
sua inclinação vai diminuindo. Realmente, a função logarítmica de x
vai diminuindo sua inclinação. Aqui, da mesma forma: quando tende a menos infinito
você vai ter uma inclinação cada vez mais próxima de zero, ou seja, a inclinação da função logarítmica do módulo de x
vai tendendo a zero. Com isso nós verificamos o comportamento
das principais funções trigonométricas e exponenciais.