Exemplo resolvido: derivadas de sen(x) e cos(x)

RKA4JL - Olá! O que nós queremos neste vídeo é calcular a derivada dessa função g(x) em que g(x) é igual a 7 vezes seno de x menos 3 vezes cosseno de x menos essa expressão meio louca aqui, que é (π sobre a raiz cúbica de x) elevado ao quadrado. Apesar de parecer bem complicado fazer a derivada dessa função, você vai ver que é possível fazer isso utilizando as ferramentas que a gente já tem e por esse motivo vamos relembrar algumas dessas ferramentas. A primeira é que a derivada em relação a x de um polinômio, ou seja, de xⁿ, vai ser igual a quê? Basta utilizar a regra da potência, basta simplesmente pegar esse n, colocar aqui na frente e multiplicar pelo xⁿ⁻¹. A outra ferramenta que a gente também já tem é que a derivada em relação a x do cosseno de x é igual a -sen x, então a gente vai ter aqui seno de x negativo. Por último a gente também já sabe que a derivada em relação a x do seno de x é igual ao cosseno de x, cosseno de x positivo neste caso. Então, utilizando todas essas três ferramentas aqui, a gente vai conseguir calcular a derivada para essa função. Eu sei que você vai olhar para esta parte, vai olhar para essa e vai achar até fácil de fazer. Inclusive, pause este vídeo e tente calcular isso. E então, conseguiu? Provavelmente você deve ter travado aqui, não é? Essa parte aqui, apesar de ser uma expressão meio louca, não é tão difícil desde que a gente rearrume tudo isso aqui. Então, por exemplo, vamos pegar essa expressão aqui e colocá-la de uma forma mais fácil de identificar, de uma forma mais fácil derivar? A gente pode fazer isso aqui embaixo. A gente tem o quê? Tem aquilo ali sendo π sobre a raiz cúbica de x e tudo isso elevado ao quadrado, não é? Isso aqui é a mesma coisa que a gente elevar o numerador e o denominador ao quadrado, então a gente vai ter π² dividido pela raiz cúbica de x². Isso vai ser igual a π² dividido por isso aqui elevado ao quadrado, mas a gente pode rearrumar isso aqui também e dizer que a raiz cúbica de x é a mesma coisa que x elevado a ⅓. Então a gente vai ter aqui x elevado a ⅓ e isso elevado ao quadrado, certo? Isso então vai ser igual a π² sobre... Quando a gente tem uma potência de potência, como essa aqui, basta repetir a base e multiplicar os dois expoentes. Então a gente vai ter x elevado a ⅓ vezes 2, que é a mesma coisa que x elevado a ⅔. Mas não acabou, a gente ainda pode melhorar isso aqui, porque isso aqui vai ser igual a π²... A gente pode multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por x elevado a -⅔. Assim a gente anula essa parte aqui, ficando apenas como 1 no denominador e ficando no numerador com esse x elevado a -⅔. Então isso já começa a ficar um pouco melhor para a gente porque isso aqui vai se enquadrar nessa regra da potência e a gente consegue derivar isso tranquilamente. Então vamos substituir tudo isso por π² vezes x elevado a -⅔ e a gente vai derivar isso, então vamos fazer essa derivada. A gente quer calcular a derivada em relação a x de g(x). Isso vai ser igual a quê? Vai ser a derivada de cada um desses termos em relação a x. Então vai ser igual à derivada em relação a x de 7 vezes sen x menos a derivada em relação a x de 3 vezes cos x menos a derivada em relação a x desse termo aqui, π² vezes x elevado a -⅔. Calculando essa derivada aqui, a derivada em relação a x de g(x) é g'(x). Isso vai ser igual a... Qual vai ser a derivada em relação a x de 7 vezes sen x? Como a gente sabe, temos aqui uma constante multiplicando esse seno de x e podemos colocar essa constante para fora da derivada. Assim a gente vai ter 7 vezes a derivada em relação a x do sen x e a gente sabe que a derivada do sen x em relação a x é igual ao cos x. Então nós vamos ter 7 vezes cos x menos a derivada em relação a x de 3 vezes cos x. É a mesma ideia. A gente pode colocar essa constante aqui para fora. Vamos ter 3 vezes a derivada em relação a x do cos x, que é igual a -sen x. Então vamos ter -sen x, e isso por último, menos a derivada em relação a x de π² vezes x elevado a -⅔. π² é uma constante, então colocamos isso aqui para fora. A gente vai ter π² vezes... Derivando x elevado -⅔, a gente pode utilizar a regra da potência, colocando esse expoente aqui na frente. Então a gente vai ter -⅔ vezes x elevado a -⅔-1. Agora que a gente já fez tudo isso, conseguiremos simplificar. A derivada em relação a x de g(x) vai ser igual... Aqui é 7 vezes cos x menos 3 vezes menos x vai ser +3 vezes sen x -π² vezes -⅔ vai ser igual a +2π² dividido por 3, isso vezes: x elevado a -⅔-1, que é igual a x elevado a -5/3 e essa aqui é a derivada em relação a x de g(x) de toda essa função.