Derivadas de sec(x) e cossec(x)

[RKA20C] No vídeo passado, nós utilizamos a regra do quociente para determinar a derivada da tangente de x e a derivada da cotangente de x. Hoje, vamos fazer a mesma coisa para determinar a derivada da secante de x e da cossecante de x, ok? Então, vamos lá! A primeira coisa que nós vamos fazer aqui é determinar a derivada em relação a x de sec x. Mas uma coisa interessante que a gente poderia fazer aqui para determinar sec x é colocar a forma de sec x em termos de seno ou cosseno. Sec x nada mais é do que o inverso de cos x. Então, a gente pode dizer que queremos calcular a derivada em relação a x do inverso, ou seja, de 1/cos x. Ok, agora que a gente já sabe disso, fica fácil utilizar a regra do quociente para determinar essa derivada. Na verdade, a gente pode calcular essa derivada de diversas formas. Você poderia, por exemplo, utilizar a regra do produto sabendo que você teria 1 vezes o inverso de cos x, certo? Dá no mesmo! Mas vamos utilizar a regra do quociente, que é o que estamos utilizando nos últimos vídeos. Qual seria a regra do quociente para as derivadas? A primeira coisa que temos que fazer é calcular a derivada do valor que está no numerador, ou seja, a derivada de 1. 1 é uma constante, e você já sabe que a derivada de uma constante é igual a 0. Então, a derivada de 1 vai ser 0, aí, vezes a expressão que está no denominador, que é cos x. A gente vai ter aqui 0 vezes cos x, menos, a regra do quociente tem que ter o menos aqui, a primeira expressão, ou seja, a expressão que está no numerador, que, neste caso, é 1, vezes a derivada da expressão, que está no denominador. E qual seria a derivada de cos x? A derivada de cos x é igual a -sen x. Então, a gente pode colocar aqui: sen x... Como é -sen x, a gente vai ter menos vezes menos, e todas as vezes em que a gente tiver um número negativo multiplicando um número negativo, a gente vai ter como resposta um número positivo. Então, este menos aqui vai se transformar em um mais. Tudo isso dividido pelo quê? Dividido pelo termo que está aqui no denominador, elevado ao quadrado. Então, tudo isso dividido por cos² x, ok? Agora sim a gente já pode trabalhar nesta expressão e deixá-la de uma forma um pouco melhor. 0 vezes cos x = 0. Então, ficamos apenas com esta parte. 1 vezes sen x = sen x. Então, vamos ter sen x/cos²x. Então, esta aqui é a derivada de sec x. Mas a gente ainda pode deixar isso um pouco melhor também. A gente pode separar esses termos e colocar desta forma: sen x/cos x vezes 1/cos x. Seno sobre cosseno é tangente. Então, a gente vai ter aqui algo sendo igual à tan x. 1/cos x = sec x. Então, a gente vai ter aqui tan x vezes sec x Esta aqui é a derivada de sec x. Então, temos que a derivada de sec x é a tan x vezes a própria sec x. A gente pode usar a mesma ideia agora para calcular a derivada em relação a x de cossec x. Então, a gente vai pegar aqui cossec x. Isso vai ser igual à derivada em relação a x de quê? Lembre-se: todas as vezes em que a gente coloca este "co" na frente, a gente vai inverter cosseno por seno. Se a gente tinha que sec x = 1/cos, cossec x = 1/sen. Vamos ter a derivada em relação a x de 1/sen x. A gente vai usar a mesma ideia agora e utilizar a regra do quociente. Vamos derivar a expressão que está no numerador, a derivada de 1 é 0, vamos multiplicar pelo termo que está no denominador, que é sen x, isso menos o termo que está no denominador, que é 1, vezes a derivada do termo está no denominador. E a derivada de sen x é cos x. Tudo isto aqui dividido pelo termo que está no denominador, elevado ao quadrado, ou seja, dividido por sen² x. Isso vai ser igual a: 0 vezes sen x = 0... Sobrou apenas esta parte, certo? Então, a gente vai ter isto sendo igual a: -cos x... afinal de contas, -1 vezes cos x = -cos x, dividido pelo sen² x. A gente pode separar isso novamente e colocar -cos x/sen x vezes 1/sen x. Isto aqui vai ser igual a... cos x/sen x não é o inverso de sen x/cos x? Então, se aqui a gente tinha a tangente, aqui a gente vai ter a cotangente. A gente vai ter -cot x vezes 1/sen x, que é cossec x. Esta é a derivada de cossec x. Se a gente quer a derivada de sec x, a gente vai ter tan x vezes sec x. Se a gente quer a derivada de cossec x, a gente vai ter -cot x vezes cossec x. Lembrando que este termo já representa para a gente a derivada. Apenas coloquei aqui de uma forma um pouco melhor. E a gente conseguiu fazer isso utilizando a regra do quociente. Lembrando, novamente, que existem outras formas de se fazer essa derivada, mas eu utilizei esta por ser uma forma mais interessante para este tipo de objetivo.