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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 26: Derivação de funções trigonométricas- Derivadas de tg(x) e cotg(x)
- Derivadas de sec(x) e cossec(x)
- Derivadas de tg(x), cotg(x), sec(x), e cossec(x)
- Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
- Derivação de funções trigonométricas
- Regra do quociente para derivada de tan x
- Revisão de derivação de funções trigonométricas
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Derivadas de sec(x) e cossec(x)
Neste vídeo, calculamos as derivadas de sec(x) e cossec(x) escrevendo-as como 1/sen(x) ou 1/cos(x) e usando a regra do quociente.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] No vídeo passado, nós utilizamos
a regra do quociente para determinar a derivada
da tangente de x e a derivada da cotangente de x. Hoje, vamos fazer a mesma coisa para determinar a derivada
da secante de x e da cossecante de x, ok? Então, vamos lá! A primeira coisa que
nós vamos fazer aqui é determinar a derivada em relação a x
de sec x. Mas uma coisa interessante que
a gente poderia fazer aqui para determinar sec x é colocar a forma de sec x em termos de seno ou cosseno. Sec x nada mais é do que
o inverso de cos x. Então, a gente pode dizer
que queremos calcular a derivada em relação a x do inverso, ou seja,
de 1/cos x. Ok, agora que a gente
já sabe disso, fica fácil utilizar a regra do quociente para determinar essa derivada. Na verdade, a gente pode calcular
essa derivada de diversas formas. Você poderia, por exemplo,
utilizar a regra do produto sabendo que você teria 1 vezes
o inverso de cos x, certo? Dá no mesmo! Mas vamos utilizar
a regra do quociente, que é o que estamos
utilizando nos últimos vídeos. Qual seria a regra do quociente
para as derivadas? A primeira coisa que temos que fazer é calcular a derivada do valor
que está no numerador, ou seja, a derivada de 1. 1 é uma constante, e você já sabe que
a derivada de uma constante é igual a 0. Então, a derivada de 1 vai ser 0, aí, vezes a expressão que
está no denominador, que é cos x. A gente vai ter aqui 0
vezes cos x, menos, a regra do quociente tem que
ter o menos aqui, a primeira expressão, ou seja, a expressão que
está no numerador, que, neste caso, é 1, vezes a derivada da expressão, que está no denominador. E qual seria a derivada de cos x? A derivada de cos x
é igual a -sen x. Então, a gente pode colocar aqui:
sen x... Como é -sen x, a gente vai ter menos vezes menos, e todas as vezes em que a gente
tiver um número negativo multiplicando um número negativo, a gente vai ter como resposta
um número positivo. Então, este menos aqui
vai se transformar em um mais. Tudo isso dividido pelo quê? Dividido pelo termo que está aqui
no denominador, elevado ao quadrado. Então, tudo isso dividido
por cos² x, ok? Agora sim a gente já pode
trabalhar nesta expressão e deixá-la de uma forma
um pouco melhor. 0 vezes cos x = 0. Então, ficamos apenas
com esta parte. 1 vezes sen x = sen x. Então, vamos ter
sen x/cos²x. Então, esta aqui é
a derivada de sec x. Mas a gente ainda pode deixar isso
um pouco melhor também. A gente pode separar esses termos
e colocar desta forma: sen x/cos x vezes 1/cos x. Seno sobre cosseno é tangente. Então, a gente vai ter aqui
algo sendo igual à tan x. 1/cos x = sec x. Então, a gente vai ter aqui
tan x vezes sec x Esta aqui é a derivada de sec x. Então, temos que a derivada de sec x é a tan x vezes a própria sec x. A gente pode usar a mesma ideia
agora para calcular a derivada em relação a x
de cossec x. Então, a gente vai pegar aqui cossec x. Isso vai ser igual à derivada
em relação a x de quê? Lembre-se: todas as vezes
em que a gente coloca este "co" na frente, a gente vai inverter
cosseno por seno. Se a gente tinha que
sec x = 1/cos, cossec x = 1/sen. Vamos ter a derivada em relação a x
de 1/sen x. A gente vai usar
a mesma ideia agora e utilizar a regra do quociente. Vamos derivar a expressão
que está no numerador, a derivada de 1 é 0, vamos multiplicar pelo termo
que está no denominador, que é sen x, isso menos o termo que está
no denominador, que é 1, vezes a derivada do termo
está no denominador. E a derivada de sen x
é cos x. Tudo isto aqui dividido pelo
termo que está no denominador, elevado ao quadrado, ou seja, dividido por sen² x. Isso vai ser igual a:
0 vezes sen x = 0... Sobrou apenas esta parte, certo? Então, a gente vai ter isto
sendo igual a: -cos x... afinal de contas,
-1 vezes cos x = -cos x, dividido pelo sen² x. A gente pode separar isso novamente e colocar -cos x/sen x vezes 1/sen x. Isto aqui vai ser igual a... cos x/sen x não é o inverso
de sen x/cos x? Então, se aqui a gente
tinha a tangente, aqui a gente vai ter a cotangente. A gente vai ter -cot x
vezes 1/sen x, que é cossec x. Esta é a derivada de cossec x. Se a gente quer
a derivada de sec x, a gente vai ter tan x
vezes sec x. Se a gente quer
a derivada de cossec x, a gente vai ter -cot x
vezes cossec x. Lembrando que este termo já
representa para a gente a derivada. Apenas coloquei aqui de
uma forma um pouco melhor. E a gente conseguiu fazer isso
utilizando a regra do quociente. Lembrando, novamente, que existem outras formas
de se fazer essa derivada, mas eu utilizei esta por ser
uma forma mais interessante para este tipo de objetivo.