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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 26: Derivação de funções trigonométricas- Derivadas de tg(x) e cotg(x)
- Derivadas de sec(x) e cossec(x)
- Derivadas de tg(x), cotg(x), sec(x), e cossec(x)
- Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
- Derivação de funções trigonométricas
- Regra do quociente para derivada de tan x
- Revisão de derivação de funções trigonométricas
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Regra do quociente para derivada de tan x
Como tg(x) = sen(x)/cos(x), ela é uma boa candidata para aplicar a regra do quociente,. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Na aula passada, nós vimos
a regra do quociente e vimos que não é algo tão novo assim. Porque, na verdade, é a aplicação
da regra do produto. Ou seja, se quisermos calcular a derivada
de uma divisão de duas funções. Ou seja, se quisermos calcular
a derivada de algo assim, podemos utilizar esta expressão. E aí, eu pensei: onde eu posso aplicar isso? Ou seja, qual derivada vai ser
útil para utilizar esta fórmula? E a que veio à mente foi
a derivada da tangente de "x". Ou seja, a derivada em relação a "x"
de tangente de "x". E você deve estar se perguntando: espera aí, nós vamos aplicar
a regra do quociente, então, por que estamos calculando
a derivada da tangente de "x"? Simples, porque podemos escrever
a derivada em relação a "x" da tangente de "x", como a derivada em relação a "x"
de sen x / cos x. Ou seja, reescrevemos a tangente de "x" como sen x / cos x. Agora, sim, nós temos uma função
dividida pela outra. Com isso, podemos aplicar
esta regra do quociente. Então, isto vai ser igual à derivada
do sen x vezes cos x. E qual é a derivada do sen x?
É cos x. Então, cos x vezes cos x, menos a função
que está no numerador, que, neste caso,
é o sen x. Então, menos o sen x vezes a derivada
da função que está no denominador. Ou seja, a derivada do cos x,
que é -sen x, mas como eu tenho um menos aqui,
eu já vou colocar um mais e um sen x aqui. E dividimos tudo isso pela função
que está no denominador ao quadrado. Então, cos x². E será que conseguimos
simplificar isto aqui? Bem, cos x vezes cos x
é a mesma coisa que o cos² x. E sen x vezes sen x
é igual a sen² x. E sabemos que cos² x + sen² x é igual a 1. Porque é a relação fundamental
da trigonometria. Portanto, todo este numerador
vai ser igual a 1. E aí, nós vamos ficar com 1 / cos² x. Ou seja, estas são as duas formas
de escrever cos² x. Isto é a mesma coisa que (1/cos x)². E 1/cos x é a secante. Portanto, aqui eu posso escrever
que isso é igual a (sec x)², ou escrever como a secante
ao quadrado de "x". Ou seja, utilizamos a regra do quociente para provar que a derivada
da tangente de "x" é igual à secante ao quadrado de "x". Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!