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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)

Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2

Lição 7: Uso da definição formal de derivada

Retas tangentes e taxas de variação

Como retas tangentes são um limite de retas secantes e onde a derivada e a taxa de variação se encaixam nisso tudo.

Introdução

A posição de um carro ao descer uma rua, o valor da moeda ajustado pela inflação, o número de bactérias em uma cultura e a tensão CA de um sinal elétrico são todos exemplos de grandezas que mudam com o tempo. Nesta seção, nós vamos estudar a taxa de variação de uma grandeza e como ela está geometricamente relacionada com retas secante e tangente.

Retas secante e tangente

Se dois pontos distintos

P (x_{0}, y_{0})

Q (x_{1}, y_{1})

fazem parte da curva

y = f (x)

, o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos é

m_{\sec} = \frac{y_{1} - y_{0}}{x_{1} - x_{0}} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Se fizermos o ponto

x_{1}

se aproximar de

x_{0}

, então

Q

se aproximará de

P

ao longo do gráfico

f

. O coeficiente angular da reta secante através dos pontos

P

Q

se aproximará gradualmente do coeficiente angular da reta tangente a

P

conforme

x_{1}

se aproximar de

x_{0}

. No limite, a equação anterior torna-se

m_{\tan} = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

Se considerarmos

h = x_{1} - x_{0}

, então

x_{1} = x_{0} + h

h \to 0

conforme

x_{1} \to x_{0}

. Podemos reescrever o limite assim:

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Quando o limite existe, seu valor

m_{tg}

é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

f

no ponto

P (x_{0}, y_{0})

Exemplo 1

Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função

f (x) = x^{3}

no ponto

(2, 8)

Solução

Como

(x_{0}, y_{0}) = (2, 8)

, usando a fórmula do coeficiente angular da reta tangente

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

nós obtemos

\begin{aligned} m_{\tan} & = lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{(h^{3} + 6 h^{2} + 12 h + 8) - 8}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 6 h^{2} + 12 h}{h} \\ = lim_{h \to 0} (h^{2} + 6 h + 12) \\ = 12. \end{aligned}

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é

12

. Lembre-se, a partir da álgebra, de que a equação da reta tangente na forma da equação fundamental da reta é

y - y_{0} = m_{\tan} \cdot (x - x_{0})

A equação fundamental da reta nos fornece a equação:

y - 8 = 12 \cdot (x - 2)

a qual podemos reescrever como

y = 12 x - 16

Como calcular o coeficiente angular em qualquer ponto

Agora, estamos interessados em encontrar uma fórmula para o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto do gráfico de

f

. Tal fórmula será a mesma fórmula que estamos usando, exceto pelo fato de que substituímos a constante

x_{0}

pela variável

x

. Com isso, obtemos:

m_{\tan} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Denotamos esta fórmula assim

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

em que

f^{'} (x)

é lida como "

f

linha de

x

". O próximo exemplo ilustra sua utilidade.

Exemplo 2

f (x) = x^{2} - 3

, calcule

f^{'} (x)

e use o resultado para encontrar os coeficientes angulares das retas tangentes em

x = 2

x = - 1

Solução

Como

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

então

\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{[(x + h)^{2} - 3] - [x^{2} - 3]}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - 3 - x^{2} + 3}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} \\ = lim_{h \to 0} (2 x + h) \\ = 2 x . \end{aligned}

Para calcular o coeficiente angular, substituímos

x = 2

x = - 1

no resultado

f^{'} (x)

e obtemos

f^{'} (2) = 2 (2) = 4

f^{'} (- 1) = 2 (- 1) = - 2

Portanto, os coeficientes angulares das retas tangentes nos pontos

x = 2

x = - 1

são

4

- 2

, respectivamente.

Exemplo 3

Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função

f (x) = 1 / x

no ponto

(1, 1)

Solução

Usar a fórmula do coeficiente angular da reta tangente

f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

e substituir

f (x) = 1 / x

resulta em

\begin{aligned} f^{'} (x) & = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h}) - \frac{1}{x}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{x - x - h}{h x (x + h)} \\ = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h x (x + h)} \\ = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)} \\ = \frac{- 1}{x^{2}} . \end{aligned}

Substituir

x = 1

produz

f^{'} (1) = \frac{- 1}{(1)^{2}} = - 1

Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em

x = 1

para o gráfico de

f (x) = 1 / x

m = - 1

. Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a equação fundamental da reta,

y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})

em que

(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)

. A equação da reta tangente é

\begin{aligned} y - 1 & = - 1 \cdot (x - 1) \\ y & = - x + 1 + 1 \\ y & = - x + 2. \end{aligned}

Velocidade média

O conceito principal de diferencial é calcular a taxa de variação de uma grandeza em relação a outra. Por exemplo, a velocidade é definida como a taxa de variação da distância percorrida em relação ao tempo. Se um carro percorre

120

quilômetros em

4

horas, sua velocidade é de

\frac{120 quilômetros}{4 horas} = 30 km/h

Essa velocidade é chamada de velocidade média ou taxa de variação média da distância em relação ao tempo. É claro que um carro que percorre

120

quilômetros a uma taxa média de

30

quilômetros por hora por

4

horas não o faz necessariamente a uma velocidade constante. Ele pode ter desacelerado ou acelerado durante o período de

4

horas.

No entanto, se o carro batesse em uma árvore, não seria sua velocidade média que determinaria o dano resultante, mas sim sua velocidade no instante da colisão. Sendo assim, temos dois tipos diferentes de velocidade aqui, a velocidade média e a velocidade instantânea.

A velocidade média de um objeto é definida como o deslocamento

△ x

do objeto dividido pelo intervalo de tempo

△ t

durante o qual ocorre o deslocamento:

v = \frac{△ x}{△ t} = \frac{x_{1} - x_{0}}{t_{1} - t_{0}}

A velocidade média também é a expressão para o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos. A figura 1 mostra a

reta secante

que passa pelos pontos

(t_{0}, x_{0})

(t_{1}, x_{1})

curva posição-versus-tempo

Assim, concluímos que a velocidade média de um objeto entre o tempo

t_{0}

t_{1}

é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos

(t_{0}, x_{0})

(t_{1}, x_{1})

. Se escolhermos

t_{1}

próximo a

t_{0}

, então a velocidade média será bem próxima à velocidade instantânea no tempo

t_{0}

Taxas de variação

A taxa de variação média de uma função arbitrária

f

em um intervalo é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante ao gráfico de

f

. A taxa de variação instantânea de

f

em um ponto específico é representada pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

f

naquele ponto. Vamos considerar cada caso mais detalhadamente.

Taxa de variação média

A taxa de variação média da função

f

no intervalo

[x_{0}, x_{1}]

m_{\sec} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

A figura 2 mostra a

reta secante

aos pontos

(x_{0}, f (x_{0}))

(x_{1}, f (x_{1}))

gráfico de f

. O coeficiente angular da reta secante é a taxa de variação média

m_{\sec}

Taxa de variação instantânea

A taxa de variação instantânea da função

f

no ponto

x_{0}

m_{\tan} = f^{'} (x_{0}) = lim_{x_{1} \to x_{0}} \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}}

A figura 3 mostra a

reta tangente

ao ponto

(x_{0}, f (x_{0}))

gráfico de f

. O coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea

m_{tg}

Exemplo 4

Suponha que

y = x^{2} - 3

(a) Calcule a taxa de variação média de

y

em relação a

x

no intervalo

[0, 2]

(b) Calcule a taxa de variação instantânea de

y

em relação a

x

no ponto

x = - 1

Solução

(a) Aplicar a fórmula da taxa de variação média com

f (x) = x^{2} - 3

x_{0} = 0

x_{1} = 2

resulta em

\begin{aligned} m_{\sec} & = \frac{f (x_{1}) - f (x_{0})}{x_{1} - x_{0}} \\ = \frac{f (2) - f (0)}{2 - 0} \\ = \frac{1 - (- 3)}{2} \\ = 2 \end{aligned}

Isso significa que a taxa de variação média no intervalo

[0, 2]

é um aumento de 2 unidades em

y

para cada aumento de uma unidade em

x

(b) Pelo exemplo 2 acima, descobrimos que

f^{'} (x) = 2 x

, então

\begin{aligned} m_{\tan} & = f^{'} (x_{0}) \\ = f^{'} (- 1) \\ = 2 (- 1) \\ = - 2. \end{aligned}

Isso significa que a taxa de variação instantânea é negativa. Ou seja,

y

está decrescendo em

x = - 1

. Ele está decrescendo a uma taxa de

2

unidades em

y

para cada aumento de uma unidade em

x

Fonte

CK-12: Tangent Lines and Rates of Change

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