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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 7: Uso da definição formal de derivada- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Expressão do limite da derivada de uma função linear
- Expressão do limite da derivada de cos(x) em um ponto de mínimo
- Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)
- Retas tangentes e taxas de variação
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Retas tangentes e taxas de variação
Como retas tangentes são um limite de retas secantes e onde a derivada e a taxa de variação se encaixam nisso tudo.
Introdução
A posição de um carro ao descer uma rua, o valor da moeda ajustado pela inflação, o número de bactérias em uma cultura e a tensão CA de um sinal elétrico são todos exemplos de grandezas que mudam com o tempo. Nesta seção, nós vamos estudar a taxa de variação de uma grandeza e como ela está geometricamente relacionada com retas secante e tangente.
Retas secante e tangente
Se dois pontos distintos e fazem parte da curva , o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos é
Se fizermos o ponto se aproximar de , então se aproximará de ao longo do gráfico . O coeficiente angular da reta secante através dos pontos e se aproximará gradualmente do coeficiente angular da reta tangente a conforme se aproximar de . No limite, a equação anterior torna-se
Se considerarmos , então e conforme . Podemos reescrever o limite assim:
Quando o limite existe, seu valor é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Exemplo 1
Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Solução
Como , usando a fórmula do coeficiente angular da reta tangente
nós obtemos
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é . Lembre-se, a partir da álgebra, de que a equação da reta tangente na forma da equação fundamental da reta é
A equação fundamental da reta nos fornece a equação:
a qual podemos reescrever como
Como calcular o coeficiente angular em qualquer ponto
Agora, estamos interessados em encontrar uma fórmula para o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto do gráfico de . Tal fórmula será a mesma fórmula que estamos usando, exceto pelo fato de que substituímos a constante pela variável . Com isso, obtemos:
Denotamos esta fórmula assim
em que é lida como " linha de ". O próximo exemplo ilustra sua utilidade.
Exemplo 2
Se , calcule e use o resultado para encontrar os coeficientes angulares das retas tangentes em e .
Solução
Como
então
Para calcular o coeficiente angular, substituímos e no resultado e obtemos
e
Portanto, os coeficientes angulares das retas tangentes nos pontos e são e , respectivamente.
Exemplo 3
Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Solução
Usar a fórmula do coeficiente angular da reta tangente
e substituir resulta em
Substituir produz
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em para o gráfico de é . Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a equação fundamental da reta,
em que . A equação da reta tangente é
Velocidade média
O conceito principal de diferencial é calcular a taxa de variação de uma grandeza em relação a outra. Por exemplo, a velocidade é definida como a taxa de variação da distância percorrida em relação ao tempo. Se um carro percorre quilômetros em horas, sua velocidade é de
Essa velocidade é chamada de velocidade média ou taxa de variação média da distância em relação ao tempo. É claro que um carro que percorre quilômetros a uma taxa média de quilômetros por hora por horas não o faz necessariamente a uma velocidade constante. Ele pode ter desacelerado ou acelerado durante o período de horas.
No entanto, se o carro batesse em uma árvore, não seria sua velocidade média que determinaria o dano resultante, mas sim sua velocidade no instante da colisão. Sendo assim, temos dois tipos diferentes de velocidade aqui, a velocidade média e a velocidade instantânea.
A velocidade média de um objeto é definida como o deslocamento do objeto dividido pelo intervalo de tempo durante o qual ocorre o deslocamento:
A velocidade média também é a expressão para o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos. A figura 1 mostra a que passa pelos pontos e na .
Assim, concluímos que a velocidade média de um objeto entre o tempo e é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos e . Se escolhermos próximo a , então a velocidade média será bem próxima à velocidade instantânea no tempo .
Taxas de variação
A taxa de variação média de uma função arbitrária em um intervalo é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante ao gráfico de . A taxa de variação instantânea de em um ponto específico é representada pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de naquele ponto. Vamos considerar cada caso mais detalhadamente.
Taxa de variação média
A taxa de variação média da função no intervalo é
A figura 2 mostra a aos pontos e no . O coeficiente angular da reta secante é a taxa de variação média .
Taxa de variação instantânea
A taxa de variação instantânea da função no ponto é
A figura 3 mostra a ao ponto no . O coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea .
Exemplo 4
Suponha que .
(a) Calcule a taxa de variação média de em relação a no intervalo .
(b) Calcule a taxa de variação instantânea de em relação a no ponto .
Solução
(a) Aplicar a fórmula da taxa de variação média com , e resulta em
Isso significa que a taxa de variação média no intervalo é um aumento de 2 unidades em para cada aumento de uma unidade em .
(b) Pelo exemplo 2 acima, descobrimos que , então
Isso significa que a taxa de variação instantânea é negativa. Ou seja, está decrescendo em . Ele está decrescendo a uma taxa de unidades em para cada aumento de uma unidade em .
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