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Retas tangentes e taxas de variação

Como retas tangentes são um limite de retas secantes e onde a derivada e a taxa de variação se encaixam nisso tudo.

Introdução

A posição de um carro ao descer uma rua, o valor da moeda ajustado pela inflação, o número de bactérias em uma cultura e a tensão CA de um sinal elétrico são todos exemplos de grandezas que mudam com o tempo. Nesta seção, nós vamos estudar a taxa de variação de uma grandeza e como ela está geometricamente relacionada com retas secante e tangente.

Retas secante e tangente

Se dois pontos distintos P(x0,y0) e Q(x1,y1) fazem parte da curva y=f(x), o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos é
msec=y1y0x1x0=f(x1)f(x0)x1x0.
Se fizermos o ponto x1 se aproximar de x0, então Q se aproximará de P ao longo do gráfico f. O coeficiente angular da reta secante através dos pontos P e Q se aproximará gradualmente do coeficiente angular da reta tangente a P conforme x1 se aproximar de x0. No limite, a equação anterior torna-se
mtan=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0.
Se considerarmos h=x1x0, então x1=x0+h e h0 conforme x1x0. Podemos reescrever o limite assim:
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h.
Quando o limite existe, seu valor mtg é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x0,y0).

Exemplo 1

Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x3 no ponto (2,8).

Solução

Como (x0,y0)=(2,8), usando a fórmula do coeficiente angular da reta tangente
mtan=limh0f(x0+h)f(x0)h
nós obtemos
mtan=limh0f(2+h)f(2)h=limh0(h3+6h2+12h+8)8h=limh0h3+6h2+12hh=limh0(h2+6h+12)=12.
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 12. Lembre-se, a partir da álgebra, de que a equação da reta tangente na forma da equação fundamental da reta é
yy0=mtan(xx0).
A equação fundamental da reta nos fornece a equação:
y8=12(x2)
a qual podemos reescrever como
y=12x16.

Como calcular o coeficiente angular em qualquer ponto

Agora, estamos interessados em encontrar uma fórmula para o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto do gráfico de f. Tal fórmula será a mesma fórmula que estamos usando, exceto pelo fato de que substituímos a constante x0 pela variável x. Com isso, obtemos:
mtan=limh0f(x+h)f(x)h.
Denotamos esta fórmula assim
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
em que f(x) é lida como "f linha de x". O próximo exemplo ilustra sua utilidade.

Exemplo 2

Se f(x)=x23, calcule f(x) e use o resultado para encontrar os coeficientes angulares das retas tangentes em x=2 e x=1.

Solução

Como
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h,
então
f(x)=limh0[(x+h)23][x23]h=limh0x2+2xh+h23x2+3h=limh02xh+h2h=limh0(2x+h)=2x.
Para calcular o coeficiente angular, substituímos x=2 e x=1 no resultado f(x) e obtemos
f(2)=2(2)=4
e
f(1)=2(1)=2.
Portanto, os coeficientes angulares das retas tangentes nos pontos x=2 e x=1 são 4 e 2, respectivamente.

Exemplo 3

Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x)=1/x no ponto (1,1).

Solução

Usar a fórmula do coeficiente angular da reta tangente
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h
e substituir f(x)=1/x resulta em
f(x)=limh0(1x+h)1xh=limh0x(x+h)x(x+h)h=limh0xxhhx(x+h)=limh0hhx(x+h)=limh01x(x+h)=1x2.
Substituir x=1 produz
f(1)=1(1)2=1.
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente em x=1 para o gráfico de f(x)=1/x é m=1. Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a equação fundamental da reta,
yy0=m(xx0),
em que (x0,y0)=(1,1). A equação da reta tangente é
y1=1(x1)y=x+1+1y=x+2.

Velocidade média

O conceito principal de diferencial é calcular a taxa de variação de uma grandeza em relação a outra. Por exemplo, a velocidade é definida como a taxa de variação da distância percorrida em relação ao tempo. Se um carro percorre 120 quilômetros em 4 horas, sua velocidade é de
120 quilômetros4 horas=30 km/h.
Essa velocidade é chamada de velocidade média ou taxa de variação média da distância em relação ao tempo. É claro que um carro que percorre 120 quilômetros a uma taxa média de 30 quilômetros por hora por 4 horas não o faz necessariamente a uma velocidade constante. Ele pode ter desacelerado ou acelerado durante o período de 4 horas.
No entanto, se o carro batesse em uma árvore, não seria sua velocidade média que determinaria o dano resultante, mas sim sua velocidade no instante da colisão. Sendo assim, temos dois tipos diferentes de velocidade aqui, a velocidade média e a velocidade instantânea.
A velocidade média de um objeto é definida como o deslocamento x do objeto dividido pelo intervalo de tempo t durante o qual ocorre o deslocamento:
v=xt=x1x0t1t0
A velocidade média também é a expressão para o coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos. A figura 1 mostra a reta secante que passa pelos pontos (t0,x0) e (t1,x1) na curva posição-versus-tempo.
Figura 1. O coeficiente angular da reta secante que passa por dois pontos na curva de posição fornece a velocidade média.
Assim, concluímos que a velocidade média de um objeto entre o tempo t0 e t1 é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante que conecta os dois pontos (t0,x0) e (t1,x1). Se escolhermos t1 próximo a t0, então a velocidade média será bem próxima à velocidade instantânea no tempo t0.

Taxas de variação

A taxa de variação média de uma função arbitrária f em um intervalo é geometricamente representada pelo coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f. A taxa de variação instantânea de f em um ponto específico é representada pelo coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto. Vamos considerar cada caso mais detalhadamente.

Taxa de variação média

A taxa de variação média da função f no intervalo [x0,x1] é
msec=f(x1)f(x0)x1x0
A figura 2 mostra a reta secante aos pontos (x0,f(x0)) e (x1,f(x1)) no gráfico def. O coeficiente angular da reta secante é a taxa de variação média msec.
Figura 2. O coeficiente angular da reta secante a dois pontos no gráfico de uma função fornece a taxa de variação média da função no intervalo.

Taxa de variação instantânea

A taxa de variação instantânea da função f no ponto x0 é
mtan=f(x0)=limx1x0f(x1)f(x0)x1x0
A figura 3 mostra a reta tangente ao ponto (x0,f(x0)) no gráfico def. O coeficiente angular da reta tangente é a taxa de variação instantânea mtg.
Figura 3. O coeficiente angular da reta tangente a um ponto no gráfico de uma função fornece a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Exemplo 4

Suponha que y=x23.
(a) Calcule a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [0,2].
(b) Calcule a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x=1.

Solução

(a) Aplicar a fórmula da taxa de variação média com f(x)=x23, x0=0 e x1=2 resulta em
msec=f(x1)f(x0)x1x0=f(2)f(0)20=1(3)2=2
Isso significa que a taxa de variação média no intervalo [0,2] é um aumento de 2 unidades em y para cada aumento de uma unidade em x.
(b) Pelo exemplo 2 acima, descobrimos que f(x)=2x, então
mtan=f(x0)=f(1)=2(1)=2.
Isso significa que a taxa de variação instantânea é negativa. Ou seja, y está decrescendo em x=1. Ele está decrescendo a uma taxa de 2 unidades em y para cada aumento de uma unidade em x.

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