A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal

RKA3JV - No último vídeo, eu mostrei como determinar a inclinação de uma curva em um ponto específico. Mas, neste vídeo, eu quero generalizar um pouco mais. Eu quero te mostrar como é possível determinar a inclinação em qualquer ponto da curva. Para fazer isso, vamos desenhar novamente aqui os nossos eixos coordenados. Afinal de contas, nunca é demais fazer um novo desenho. Vamos lá! Vamos traçar aqui o nosso eixo "y" e aqui o nosso eixo "x". Aqui está nossa curva, é uma curva bem conhecida. Esta é a curva que representa a função y = x². E como eu disse, o que nós fizemos no último vídeo foi determinar a inclinação em um ponto específico desta curva, certo? Só que agora eu quero te mostrar como você vai conseguir determinar a inclinação em qualquer ponto. Então, para generalizar, vamos dizer que este ponto seja um ponto "x" qualquer e que aqui eu tenha um f(x). Este ponto aqui vai corresponder ao ponto (x, f(x)) e f(x) é x². Você pode até colocar aqui que f(x) é o x². Então, este ponto é o ponto (x, x²), que são as coordenadas deste ponto. No penúltimo vídeo, eu mostrei como você consegue determinar a inclinação em um ponto de uma curva. E para fazer isso, a gente vai usar a função derivada. E essa função derivada seria f'(x) em que este f'(x) vai ser a derivada da função f(x). Lembrando que isto aqui também é uma função, ou seja, não é uma inclinação constante. Então, a partir do momento que você consegue determinar esta função f'(x) qualquer valor de "x" que você colocar nesta função você vai encontrar a inclinação da curva naquele ponto específico. Então, se a gente quiser saber a inclinação quando "x = 3", basta colocar 3 aqui. Se quiser saber a inclinação quando "x = -3", basta colocar o -3 nesta função. Se você quiser saber a inclinação quando "x = 1.000", basta substituir o 1.000 aqui nesta função. Ou seja, você vai conseguir determinar a inclinação em qualquer ponto da curva. Então, é isso que a gente precisa fazer aqui, a gente precisa encontrar esta derivada. Porque esta derivada vai ser uma generalização para encontrar a inclinação em qualquer ponto da curva. E a pergunta é: como é que a gente consegue encontrar esta derivada? No penúltimo vídeo, eu te mostrei que se você tivesse dois pontos aqui, um ponto "x" e um outro ponto um pouquinho mais distante, levemente distante do "x", que inclusive tivesse uma distância "h". Então, a gente teria aqui um ponto "x + h" em que, como eu disse, este ponto "x + h" é levemente maior do que este "x". Aí, claro, a gente também teria aqui a f(x) que seria este ponto, ou seja, (x + h)². Então, este ponto aqui vai ser o ponto (x + h, x + h²). Então estas são as coordenadas deste ponto. Eu te mostrei, no penúltimo vídeo que, se a gente conectar estes dois pontos, a gente vai encontrar uma reta secante, certo? E que a gente consegue, inclusive, determinar a inclinação desta reta secante. Mas, como é que você consegue determinar a inclinação desta reta secante? Utilizando a definição da inclinação de uma reta. Dividindo a variação aqui no eixo "y" pela variação no eixo "x", em que essa variação no eixo "x" é o próprio "h". Então, a inclinação desta reta vai ser a variação no eixo "y" que vai ser o f(x + h) - f(x). Então, nós temos aqui f(x + h) - f(x) dividido pela variação no eixo "x". E esta variação no eixo "x", como eu falei, é o próprio "h". Ok, tudo bem! Mas eu não quero esta inclinação da reta secante, eu quero a inclinação neste ponto "x". E para determinar esta inclinação no ponto "x", a gente vai utilizar a definição da derivada. Então, o que a gente precisa saber aqui é a derivada. É a derivada da função no ponto "x". E a definição da derivada diz, que se a gente quer a inclinação neste ponto "x", a gente vai aproximar este outro ponto "x + h" o máximo possível de "x". Aí, a gente vai conseguir determinar a inclinação da reta tangente a este ponto. Então, se eu quero aproximar este ponto "x + h" ao ponto "x". Eu preciso fazer um limite com "h" tendendo a zero. Então, esta derivada desta função no ponto "x", vai ser igual ao limite de "h" tendendo a zero desta expressão aqui. E isto é a nossa definição da derivada. Ok, o que podemos fazer agora é substituir f(x + h) aqui e o f(x) também. No último vídeo, eu te mostrei que a inclinação quando "x = 3", vai ser igual a 6. Então, se a gente substituir o "x = 3", a gente vai ter um resultado igual a 6, que é a inclinação no ponto "x = 3" para essa função y = x². Então, nós podemos começar a resolver agora este limite para determinar esta derivada f'(x). Mas qual seria este f(x + h) e qual seria este f(x)? O f(x + h) é o retorno da função y = x²(x + h). E conforme eu te mostrei aqui, é x + h². Então, a gente tem que f(x + h) é (x + h)² - f(x). Qual seria o f(x)? Seria a função no ponto "x". E essa função no ponto "x" é igual a x². A gente tem que -x², tudo isso dividido por "h". Então, esta daqui corresponde à inclinação da nossa reta secante. No entanto, como eu falei, a gente quer a inclinação neste ponto "x". Então, a gente precisa fazer o seguinte, calcular esta derivada. E para calcular esta derivada, a gente vai precisar calcular o limite disto, o limite com "h" tendendo a zero. Por que isso? Porque quando a gente tem estes dois pontos aqui, a essa certa distância, a gente vai ter uma reta secante. Como eu já falei. A partir do momento que a gente começa a aproximar este ponto aqui a este outro ponto, a gente está fazendo com que este "x + h" se torne o mais próximo possível deste "x". Ou seja, essa variação "h" está tendendo a zero, está cada vez mais se aproximando de zero. E aí, vai chegar um ponto que ele vai se aproximar tanto, tanto, tanto, que esta reta secante vai acabar se transformando na reta tangente a este ponto. E é a inclinação da reta tangente a este ponto que nós estamos tentando encontrar. Então, vamos lá! Para a gente calcular agora este limite de "h" tendendo a zero, a gente vai abrir esta parte aqui (x + h)². Deixe-me fazer de azul aqui também. (x + h)² vai ser igual a x² + 2xh + h² menos x², tudo isso dividido por "h". Bem, x² aqui é positivo. E este x² negativo. Aqui nós temos x² - x². Certo? Então, a gente já pode anular este x². E a gente ficou apenas com 2xh + h² / h. Inclusive, a gente pode até simplificar isto. Se a gente dividir 2xh por "h", só vamos ter 2x. E se dividir h² por "h", só vamos ter "h", certo? Então, a gente tem aqui 2x + h. Não podemos esquecer que a gente quer a derivada de "x", e que isso é igual ao limite com "h" tendendo a zero para esta expressão aqui. Se a gente substituir este "x" por 3, conforme eu mostrei no último vídeo, a gente vai ter 6 + h. Conforme a gente chegou lá, certo? Mas como, neste caso aqui, a gente tem um limite de "h" tendendo a zero, este "h" vai ser zero. E aí, a gente vai chegar a esta expressão 2x. Então, a derivada da função x² para qualquer "x", vai ser igual a 2x. E isto aqui vai mostrar para a gente a inclinação da reta em qualquer ponto desta função, beleza? Então, temos aqui que f(x) = x², e f'(x) que é derivada da função "x" é igual a 2x. Então, aqui, qualquer valor que você colocar para "x" você vai encontrar um valor correspondente no eixo "y", certo? E aqui você vai encontrar a inclinação da reta tangente, naquele ponto específico. E eu quero me certificar de que você está compreendendo isso muito bem, porque eu sei que não é algo muito intuitivo, não é algo muito fácil pensar em uma função que te dá uma curva em um ponto de uma outra função. E para conseguir compreender isso legal, vamos desenhar novamente aqui os nossos eixos coordenados. Então, novamente, eu vou desenhar aqui o eixo "y" e aqui o eixo "x". Aqui a gente tem a nossa curva y = x², certo? O nosso f(x) = x². E vamos supor que a gente queira saber a função f(x) em um ponto específico aqui, em um ponto "x = 7". Bem, você já está acostumado com função, então, se a gente quer saber a função quando "x = 7", basta simplesmente substituir este 7 aqui no lugar do "x". Então, teremos 7² e 7² = 49, certo? Então, a função f(x) quando "x = 7" é igual a 49. No entanto, existe uma reta que tangencia este ponto. Ou seja, nós temos uma reta tangente a este ponto aqui. Então, aqui a gente tem uma reta tangente a este ponto. Eu acho que deu para entender a ideia de que isso aqui é uma reta tangente a este ponto, certo? Se você quiser saber a inclinação desta reta que está tangenciando este ponto, basta fazer a mesma coisa, mas com a função derivada. Então, a gente vai ter f' de quando "x = 7" e f'(x) = 2x. Então, a gente vai ter que 2 vezes 7 que é igual a 14. Então, este 14 corresponde à inclinação desta reta tangente a este ponto "x = 7". Se você pegar esta reta tangente e calcular a inclinação dela pela definição, pegando a variação de "y" e dividindo pela variação de "x", você vai chegar a este mesmo resultado igual a 14. Para você entender legal, vamos pegar um outro ponto aqui. Vamos pegar um ponto "x", em que este ponto "x" tem um valor igual a 2. A gente pode fazer a mesma coisa aqui, em que a gente vai ter "f" quando "x = 2". A gente tem aqui 2² e 2² é igual a 4, que seria este ponto aqui no eixo "y", 4, certo? Então, aqui este ponto tem as coordenadas (2, 4). Se eu fizer a função derivada neste ponto "x = 2", a gente vai ter um resultado igual a 2 vezes 2. E 2 vezes 2 também é igual a 4. Mas, claro, isso é apenas uma coincidência! O que este 4 nos informa é que neste ponto, a gente vai ter uma reta com uma certa inclinação, uma reta tangente a este ponto com uma certa inclinação. E esta inclinação é igual a 4. Neste ponto, a gente vai ter uma reta tangente, em que essa reta vai ter uma certa inclinação e que a inclinação dessa reta, ou seja, "m", vai ser igual a 4. Agora, e se a gente pegar o ponto "x = 0"? No ponto "x = 0", a gente vai ter "f" quando "x = 0". Zero ao quadrado é igual a zero. E a derivada nesse ponto "x = 0" vai ser igual a duas vezes zero. E duas vezes zero é igual a zero. Ou seja, neste ponto zero, a gente vai ter uma reta em que a inclinação é igual a zero. Ou seja, nós vamos ter uma reta horizontal, já que é uma reta quando a inclinação é igual a zero. Se a gente vier aqui para o outro lado, por exemplo, escolher um ponto em que "x = -1" a gente vai ter aqui "f" quando "x = -1". E o "f" para "x = -1" é -1², e (-1)² = 1. Calculando a derivada no ponto "x = -1", a gente tem que f' para x = -1 vai ser igual a 2 vezes -1, que é igual a -2. Então, neste ponto, a gente vai ter uma reta tangente com uma inclinação negativa, deste jeito aqui. Então, cada valor aqui encontrado vai corresponder à inclinação da reta tangente em cada um destes pontos. Então, sempre que a gente fizer a derivada, o que nós estamos querendo encontrar, na verdade, é a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função f(x). Então, eu espero que você tenha gostado deste vídeo. E até a próxima!