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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 2
Lição 7: Uso da definição formal de derivada- A derivada de x² em x=3 usando a definição formal
- A derivada de x² em qualquer ponto usando a definição formal
- Expressão do limite da derivada de uma função linear
- Expressão do limite da derivada de cos(x) em um ponto de mínimo
- Expressão do limite da derivada de uma função (gráfica)
- Retas tangentes e taxas de variação
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Expressão do limite da derivada de cos(x) em um ponto de mínimo
Neste vídeo, interpretamos uma expressão do limite como a derivada de cos(x) em x=π e a calculamos. Versão original criada por Sal Khan.
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- Não seria mais simples apenas expandir, cos(x + h), para, cos(π)cos(h) - sen(π)sen(h).
Com isso bastava simplificar sen(π)=0, cos(π)=-1 e aplicar o limite.
Aí teria g'(x)=0.(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Se g(x) é igual cosseno de x e este aqui é o gráfico dessa função, qual o valor de limite quando h tende a zero de (g(π mais h) menos g(π))
sobre h? No enunciado eles falam no ponto g(π). Vamos ver onde ele está no gráfico. Então aqui x é igual a π e aqui, então,
seria o ponto (π ; g(π)). Também é falado do ponto g(π mais h). Vamos supor que aqui
x seja igual a (π mais h), então esse aqui vai ser o ponto ((π mais h) ; g(π mais h)). Nesta expressão, eles basicamente estão tentando achar
a inclinação entre esses dois pontos, que seria a mudança no eixo y
sobre a mudança no eixo x. Então qual é a variação no eixo y? Ela vai ser g(π mais h) menos g(π) sobre a mudança no eixo horizontal, que vai ser (π mais h menos π). Isso é igual a (g(π mais h) menos g(π))
sobre h. Essa é exatamente a expressão do enunciado. Agora vamos pensar no que acontece
quando h se aproxima de zero. No gráfico isso significa que esse ponto
vai cada vez mais para a esquerda. Conforme h se aproxima de zero,
(π mais h) se aproxima de π. Então o ponto
((π mais h) ; g(π mais h)) vai se aproximar cada vez mais
do ponto (π ; g(π)) e a inclinação entre esses pontos vai se aproximar da tangente do ponto em que x é igual a π, que é basicamente uma linha horizontal. Então esse limite que perguntam no enunciado
será igual a zero. Tem outros caminhos para se chegar ao resultado. A gente ainda não tem as ferramentas
para fazer isso algebricamente, então a outra opção é usar uma calculadora. A gente pode pegar valores pequenos para h
e fazer o teste. Então a gente tem a expressão
(cos (π mais h) menos cos π) sobre h. Vamos tentar fazer isso com h igual a 0,1. Então (cos (π mais 0,1) menos cos π) sobre h, que é 0,1. Isso dá 0,049. Vamos tentar, agora, com um h bem menor, dessa vez vamos tentar 0,0001. Então (cos (π mais 0,0001) menos cos π) sobre 0,0001. O resultado agora foi 0,000049. Dá para perceber
que a gente vai ter números cada vez menores. Essa expressão vai se aproximando do zero.