2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 1a

RKA2G - Problema 1: Para "t" entre zero e 6, uma partícula se move ao longo do eixo "x". A posição da partícula x(t) não é explicitamente dada. A velocidade da partícula é dada por: v(t) = 2 vezes o seno de "e" elevado a (t/4) + 1. A aceleração da partícula é dada por: a(t) = "e" elevado a (t/4) vezes o cosseno de "e" elevado a (t/4) e x(0) = 2. Observe que a aceleração não precisaria ter sido explícita aqui, porque ela é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos proceder para a parte A. A velocidade escalar da partícula está aumentando ou diminuindo no instante t = 5,5? Justifique sua resposta. Primeiro, vamos destacar que, aqui, estamos tratando da velocidade escalar, ou seja, considerando apenas o módulo da velocidade. E, quando dizemos "velocidade", simplesmente estamos falando de uma grandeza vetorial que, além do seu módulo, é caracterizada pela direção e pelo seu sentido. Por exemplo, digamos que temos aqui a velocidade, vetorialmente falando, igual a -5 m/s. Isso quer dizer que o módulo da velocidade é 5 m/s, mas este sinal indica o sentido da velocidade em uma dada a direção onde ela está acontecendo. Neste caso, sobre o eixo "x" e o sinal negativo significaria que o móvel se move da direita para a esquerda. Neste caso, a velocidade escalar seria simplesmente de 5 m/s. A velocidade escalar não informa a direção nem o sentido da velocidade, apenas o seu módulo, a sua magnitude. Vamos gravar isso para o resto da resolução do problema. Para verificar se o módulo da velocidade está aumentando ou diminuindo, precisamos olhar para a aceleração, porque a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Qual é a aceleração no instante 5,5? Vamos tomar uma calculadora (este tipo de exame nos permite). O que temos é que calcular o valor da aceleração quando "t" é 5,5 nesta expressão. Vamos ter, então, 1/2 vezes "e" elevado a 5,5 (que é o valor do tempo), sobre 4, vezes o cosseno de "e" elevado a 5/5 sobre 4, novamente. Isso vai dar aproximadamente -1,36. O fato de a aceleração ser negativa dizer que a velocidade está diminuindo. Mas atenção: estamos falando da velocidade vetorial. Ela está, então, apontada no sentido da direita para a esquerda no eixo "x". E a pergunta do item A é em relação à velocidade escalar, ou seja, sobre o módulo da velocidade. Queremos saber se o módulo da velocidade está aumentando ou diminuindo. Observe que, se temos uma velocidade positiva e uma aceleração negativa, o módulo da velocidade vai diminuir. Por outro lado, se, também no tempo igual a 5,5, temos uma velocidade negativa, ao diminuir, ela vai ter o seu módulo aumentado. Ela vai ficar "mais negativa". E isso significa que a velocidade escalar está aumentando. O módulo da velocidade está aumentando. Então, além de saber sobre a aceleração no tempo igual 5,5, precisamos também ter conhecimento do que acontece com a velocidade vetorial nesse instante. Vamos, então, calcular a velocidade em um instante t = 5,5, usando novamente a calculadora. A velocidade em 5,5 vai ser igual a 2 vezes o seno de "e" elevado a 5,5 sobre 4, mais 1. Isto nos dá uma velocidade negativa: -0,45. Então, nós temos aquele cenário em que temos uma velocidade negativa e, com a aceleração negativa, essa velocidade vai diminuindo. Ela vai ficando cada vez "mais negativa". Ou seja, o módulo da velocidade está aumentando. Portanto, a velocidade escalar está aumentando. Observe que a velocidade está, no caso aqui, no eixo "x" apontando para a esquerda, cada vez com um módulo maior. Então, resumindo, temos aqui um cenário em que a aceleração, naquele instante que nos interessa, é negativa. Isso quer dizer que a velocidade, vetorialmente falando, está diminuindo, está apontando cada vez mais fortemente para o lado negativo, para o sentido negativo. E a velocidade, que já era negativa porque nós calculamos aqui, tem o seu módulo aumentado. Ela está ficando cada vez "mais negativa". Até o próximo vídeo!