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2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (c e d)

Aplicação do segundo teorema fundamental do cálculo. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

[RKA20]C Bem, no vídeo anterior, nós fizemos a letra A e a letra B. Vamos fazer a letra C. Ela pede a integral de 0 a 10 de H'(t) dt. Ora, por definição, a integral da derivada é a própria integral e, se você vai somar e subtrair, não precisa somar uma constante. Então, você vai ter H(10) - H(0), que vai ser igual a... O H(10) é 43, e o H(0) é 66. Vai dar -23 ºC. Ou seja, utilizando as unidades corretas, 23 ºC, o significado... No contexto do problema, significa que ele baixou a temperatura em 23 ºC utilizando essa expressão. Vamos ver a letra D. "No instante t = 0"... Aqui temos t = 0... Agora temos biscoitos a 100 ºC, que foram retirados do forno. "A temperatura dos biscoitos no instante t é modelada pela função diferenciável B para a qual é conhecido que B'(t) é igual a -13,84 vezes e elevado a -0,173t. Utilizando os modelos dados, no instante t = 10, quantos graus os biscoitos estão mais frios que o chá?" Ele quer saber a diferença de temperatura. O chá, no final, vai estar com 43 ºC. Vamos ver com quanto vai estar o biscoito. Aqui, vamos ter que integrar. Vamos pegar a integral de 0 a 10 de B'(t) dt. Isso vai ser a integral de 0 a 10 de -13,84 vezes e elevado a -0,173t, vezes dt. deᵃˣ/dx = a . eᵃˣ. Portanto, a integral de aˣ . dx é igual a: ⅟a . eᵃˣ mais uma constante c. Não vamos precisar somar essa constante c uma vez que vamos somar e subtrair. Então, a nossa integral fica sendo: -13,84/-0,173. Menos com menos dá mais... Eu vou colocar só 13,84/0,173 em evidência aqui. Quando for 10, aqui nós teremos e elevado a -1,73, Quando for 0, aqui vamos ter e elevado a 0, que vai dar 1. Então, agora é só fazer essa conta. Vamos fazer na calculadora, que é melhor, né? Então, vamos pegar aqui. Vamos ter 1,73, e elevado a isso, 1, menos, 13,84, vezes, 0,173, divide. Então, vamos ter 65,82... -65,82. Então, aqui fica -65,82. Ora, como ele estava com 100 ºC, isso menos 65,82, vai ter a temperatura de 34,18 ºC. Foi isso que ele baixou, ele foi para 34,18 ºC. Agora, ele quer saber quão mais frio ele está do que o chá. Então, nós fazemos apenas 43 - 34,18. Vai dar 8,82 ºC. Fica uma temperatura menor, porque essa temperatura é menor do que a do chá em 8,82 ºC.