2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 1 (b e c)

Parte b. Encontre a inclinação da linha tangente da tragetória da partícula dado um tempo, t que é igual a 3 Então, a inclinação da linha tangente será igual à taxa de variação de y com seu respectivo x em um ponto, e isso é a mesma coisa que dy, dt sobre dx, dt. Lidar com diferenciais é um pouco estranho, especialmente quando se é rigoroso, mas veja-os como várias pequenas variações em y pequenas variações em t, pequenas variações em x, pequenas variações em t Quando vê desta maneira, pode dizer veja, se eu multiplicar os dois lados, o numerador e o denominador por dt sobre dt, se vê-los como as mesmas pequenas variações, então eles poderão se cancelarão e você terá novamente, dy sobre dx E a razão pela qual escrevi desta maneira é que eles nos dão, eles não dão estes valores Nos dão dy, dt, e também nos dão dx, dt Então, se quer encontrar a inclinação, se quer encontrar a inclinação no tempo o que eles querem, no tempo igual a 3, nós só temos que achar, temos que achar dy, dt no tempo igual a 3, e dx, dt no tempo igual a 3 Então, dy, dt no tempo igual a 3 Bem, este é dy, dt logo aqui Será o seno de 3 ao quadrado, ou seno de 9, seno de 9 E dx, dt no tempo 3 E isso será, Nos disseram que dx, dt é em função do tempo, 4 vezes 3, mais 1 Bom, isso é 13 Isso é igual a 13 E então, podemos pegar nossa calculadora e resolver isso. E nós já fizemos isso no primeiro problema, mas vamos calcular Então, temos seno, seno de 9, dividido por 13, dividido por 13 dá 0.0317, 0.0317 e pronto. Esta é a inclinação da linha tangente da trajetória de uma partícula, quando o tempo é igual a 3 Copiei direito? Sim, 317, pronto. Como temos tempo, vamos resolver a parte c também Parte c. Encontre a posição da partícula no tempo, t é igual a 3 Nos dão que, x linha de t, nos dão x linha de t, e dão também, y linha de t Isto é x linha de t, isto é y linha de t Precisamos descobrir x de, x de 3 e y de 3 Vamos escrever que, se pudermos vamos escrever nossa função x de t e y de t e então, tente resolvê-los em 3 Então, vejamos, x de t, x de t será igual a anti-derivada disto daqui A antiderivada de 4t será 2t ao quadrado Faça a derivada aqui e teremos 4t A anti-derivada de 1 é t, mais t, então teremos mais uma constante, ou basicamente vamos olhar a integral indefinida deste lado, de 4t mais 1, então teremos a constante aqui porque temos a derivada, esta constante obviamente desaparecerá E perderemos esta informação Ainda bem, que nos deram uma condição inicial, x de 0 é 0 Quando x é 0, quando, desculpe, quando t é 0, este termo será igual a 0, este termo será igual a 0 Então, estão dizendo que isso tudo será igual a 0, então C será 0 também. Deixe-me fazer de forma explícita, assim não nos confundimos Então, x de 0 será igual a 0 mais 0 mais C, que nos disseram será igual a 0 Então, C é igual a 0. Então, aquilo nos disse que x de t será igual a 2t quadrado, mais t Então, se queremos encontrar x de 3, você terá que calcular isso aqui. Se quer encontrar x de 3, isso será 2 vezes 9, mais 3, 2 vezes 9 é 18, mais 3 é 21 Então, x de 3 é 21. Agora, vamos tentar y de t. Farei numa cor diferente. Então, deixe rolar a tela para a direita um pouco Então, vejamos, y de t é igual, se tentar fazer a anti-derivada disso, isso não é a, não é tão simples quanto pegar a anti-derivada disto daqui Na verdade, é bem dificil fazer de forma analítica Nem está claro se analiticamente é possível Por sorte, esta parte do exame AP, podemos usar calculadoras Então, podemos dizer que isso é igual a, com base direta no teorema fundamental de cálculo, y de t é igual a integral de 0 a t E vamos escrever como seno de x quadrado dx Tive que usar um x, não é que eu não queira usar t aqui e depois usar t também Isso deixaria mais confuso Então, você integra em x e depois o limite mais alto será t E isso é y de t E, é claro, uma constante será necessária Porque se derivar isso, você terá y de t e você perderá a informação da constante Agora, podemos encontrar a constante porque nos disseram qual é y de 0 Então, y de 0 será igual a integral de 0 a 0, então esta parte aqui será 0 Que será igual a C, porque nos disseram que y de 0 é igual a -4 Então, temos y de t é igual a integral de 0 a t de seno de x quadrado dx, menos 4 Aí está y em função de t E precisamos descobrir o que, nós já descobrimos quanto é x de 3, agora temos que encontrar quanto é y de 3 Y de 3 será igual a integral de 0 até 3 de seno de x quadrado dx, menos 4 E mais uma vez por sorte, podemos usar calculadoras Então, vamos pegar a calculadora vamos ao nosso catálogo de funções, que está em cima do botão "Custom" agora temos nosso catálogo, eu quero fazer uma integral definida, que é fn int, então tenho que ir no Fs deixe-me ir no Fs, fn int, agora temos que ir lá para baixo Um pouco mais, pronto, esta é a função que quero usar Está é a integral definida, que eu quero calcular, desta integral definida logo aqui Então, a função será seno de, seno de x quadrado É isso que quero calcular a integral definida de de, de 0 até 3, de 0 até 3 Minha variável, desculpe, primeiro vamos falar o que é variável de integração Então, minha variável de integração é x e vamos de 0 até 3 E isso me dá, Isso me dá Veja, deixe a calculadora pensar um pouco 0.77356 e com isso, esta é somente a primeira parte, que está logo aqui, e então preciso subtrair 4, menos 4 Menos 4 dá, 3.226 negativo Vamos ... Isso é igual a 3.226 negativo Eu escrevi certo? Péssima memória 3.226 negativo e pronto Então y de 3 é igual a 3.226 negativo, então a posição da partícula no tempo t é igual a 3, se quiser a coordenada, se quiser a coordenada, será 21, -3.226 Legendado por [ Luiz Pasqual ] Revisado por [Rodrigo Melges]