Cálculo Avançado BC 2015 5b

RKA4JL - Seja k igual a 4, então f(x) é igual a 1 sobre (x² menos 4x). Determine se f possui um mínimo relativo, um máximo relativo ou nenhum dos dois em x igual a 2. Justifique sua resposta. A primeira coisa que nós vamos fazer é escrever aqui embaixo a fórmula de f'(x) que o problema dá. f'(x) é igual a (k menos 2x) sobre (x² menos k vezes x)². Então pensando que f' é igual a zero, uma vez que nós desejamos ver os mínimos relativos ou máximos relativos, nós vamos ter que 4, substituindo k, menos 2x vai ser igual a zero. 4 igual a 2x, então x será igual a 2, e aqui a gente confirma esse valor. Então f'(2) é igual a zero. Mas o que nós temos que fazer? Nós temos que descobrir se o número 2 é um mínimo relativo ou máximo relativo, se ele é o ponto máximo ou ponto mínimo do gráfico onde a inclinação é nula. Por isso estamos colocando f'(2) igual a zero. Quando x é menor do que 2, nós temos que é f'(x) vai ser maior do que zero. Para testar se é realmente isso, basta a gente substituir qualquer valor de x maior do que zero aqui na fórmula. Então, por exemplo, pra f'(1) nós temos como resultado 2/9. Esse valor é maior do que zero. Quando x é maior do que 2, nós vamos ter que f'(x) vai ser menor do que zero. O que isso significa? Significa que quando x é menor do que 2, (então vamos imaginar o ponto 2 aqui em cima, nessa região), quando x é menor do que 2, a inclinação é crescente e quando x é maior do que 2, a inclinação é decrescente. Nesse sentido, nós temos aqui um ponto máximo relativo. Nós temos um máximo relativo, e esse máximo relativo é exatamente em 2. Essa é a justificativa da resposta. Teria como a gente justificar de outra forma? Sim, nós poderíamos fazer a derivada dessa derivada. No entanto isso daria muito trabalho. Você até poderia chegar em uma justificativa, em um resultado, mas daria muito trabalho. Em matemática nós sempre recomendamos você pegar o caminho mais simples, o caminho mais rápido. Afinal de contas, a matemática busca sempre simplificar os resultados.