Cálculo Avançado BC 2015 6c

RKA1JV - Escreva os primeiros termos diferentes de zero da série Maclaurin para eˣ. Use a série Maclaurin para eˣ , para escrever o polinômio de Taylor de terceiro grau, para g(x) = eˣ f(x). Sendo "x" igual a zero. Caso a série de Maclaurin não seja familiar para você, veja os vídeos da Khan Academy sobre o assunto. Vou dar algumas pinceladas no básico aqui. Parar tomar a série Maclaurin de f(x), isso será igual a f(0). Podemos ver essa f(0) vezes "x" elevado a zero, sobre zero fatorial. Se você assumir zero fatorial é igual a 1. Depois, mais f'(0) vezes x¹ sobre 1 fatorial. Mais f'', a segunda derivada, avaliada em zero, vezes x² sobre 2 fatorial. Eu acho que você consegue observar um padrão aqui, mais f''', a terceira derivada avaliada em zero, vezes x³ sobre 3 fatorial. Eu acho que você consegue ver para onde isso vai. Claro, esse primeiro x⁰ sobre zero fatoria,l é apenas 1. Muitas vezes, ele será escrito apenas de zero e este termo, 1 fatorial é apenas 1. Muitas vezes, é apenas um zero, isso é excelente, zero vezes "x", assim por diante. Na verdade, deixe-me apenas escrever aproximadamente ali. Vamos fazê-lo para eˣ. eˣ é aproximadamente igual a, será e⁰ que é 1. Além disso, você pode já saber f(x). Se f(x) é igual a eˣ, então f'(x) também é igual eˣ. Essa é uma das coisas mágicas sobre eˣ. A inclinação da linha tangente em qualquer ponto é igual ao valor de "x". Se você tomar a terceira derivada ou a derivada secundária, você ainda terá eˣ. Essa é uma das coisas especiais sobre, assim, a primeira derivada resultou em zero. Isso ainda é "e" vezes "x" elevado a zero para o primeiro valor, mais "x". Então, temos segunda derivada avaliada em zero, isso é 1. Vai ser 1 vezes x² sobre 2 fatorial. Basta dizer mais x² sobre 2. Mais x² , 2 fatorial são 2 vezes 1, Mais uma vez, a terceira derivada avaliada em zero, isso é apenas eˣ, avaliado em zero que é e⁰, que é 1. Então x³ sobre 3 fatorial ou é 3 vezes 2, vezes 1. Isso é igual a 6. Continuamos, então nós apenas escrevemos os quatro primeiros termos diferentes de zero da série Maclaurin para eˣ. Esse é 1, 2, 3, 4 termos diferentes de zero. Agora queremos usar, então, deixe-me apenas sublinhar isso. Isso faz parte do que eles estão nos pedindo para fazer. Eles dizem para usar a série Maclaurin para eˣ para escrever o polinômio de Taylor em terceiro grau. Para g(x) que é igual ao produto de eˣ e f(x). O que eu vou escrever é o nosso f(x) original, vamos escrever os primeiros termos dele. Como poderíamos multiplicar esses dois polinômios? Precisamos saber o suficiente sobre multiplicação de 2 polinômios para obter nossos termos. Que não são superiores ao terceiro grau. f(x) vai ser "x" menos 3 sobre 2 vezes x², mais 3x³. Então, f(x) vai ser aproximadamente "x" menos 3x² sobre 2, mais 3x³. Poderíamos continuar, mas isso é o suficiente para o que o exercício pede que nós façamos. Porque me sinto confiante em dizer que isso é suficiente? Nós só queremos escrever o polinômio de Taylor de terceiro grau. Se nós multiplicamos isso e nós envolvemos termos que são superiores ao terceiro grau, isso vai nos dar os termos polinomiais superiores ao terceiro grau. Vamos apenas pensar sobre isso. Qual será o produto para o "x" vezes f(x)? Isso será aproximadamente igual a, vamos ver, vamos multiplicar esse polinômio infinito vezes esse polinômio infinito e isso pode parecer intimidante para você no início. O que você poderia fazer é multiplicar cada um desses termos. Deve começar a multiplicar, vezes cada um desses termos aqui. Essencialmente, você sabe, quando você está multiplicando polinômios, você está fazendo repetidamente a propriedade distributiva. Você toma isso e distribui sobre isso, mas devemos apenas nos preocupar com os termos até o terceiro grau. Porque qualquer coisa além disso, isso vai se somar para um termo superior ao terceiro grau. Então "x" vezes 1 é "x", "x" vezes x², me desculpe, "x" vezes "x" é x². Então mais x², "x" vezes x² sobre 2 é x³ sobre 2. Vamos escrever mais 1/2x³. Eu vou parar por aqui porque se eu fizer "x" vezes isso, isso vai ser um termo de quarto grau. Eu não quero me preocupar com isso. Estamos escrevendo o polinômio de Taylor de terceiro grau. Então é "x", x² e x³ sobre 2, então, vamos agora distribuir -3/2 vezes x². Vou usar outra cor aqui apenas para explicar um pouco. Se você multiplicar esse termo por 1, isso vai ser -3 sobre 2 vezes x². Eu só vou para a segunda linha aqui. Eu posso alinhar as coisas e adicioná-las muito bem. Neste momento, isso é -3/2x³. Mais uma vez, vou começar por lá. Se eu multiplicar esses dois, eu vou ter um termo de 4º grau. Não me importo com os termos de 4º grau, então vamos nos preocupar com esse aqui. Vamos começar a distribuir. Se eu multiplicar esse vezes esse, eu vou ter 3x³ e eu vou parar por aí. Porque, então, se eu começar a multiplicar esse vezes esse, estaremos fazendo um termo de 4º grau. Depois um de quinto grau, e depois um de sexto grau, sobre o qual não preciso me preocupar. Essas são todas as peças que vão fazer aquele polinômio de terceiro grau. Com o que isso vai ser igual? Isto é um pouco de intuição matemática para a multiplicação de polinômios infinitos. Vamos ver, você vai ter "x" e x², menos 1/2x². Isso será -1/2x². Agora vamos ver aqui, você tem +1/2 menos 1/2, o que lhe daria 2 negativos. Depois +3, mas não, desculpe-me! 1/2 menos 1/2, isso seria negativo, +3 são positivo, mais 2x³. Podemos dizer eˣ vezes f(x). O polinômio de Taylor de terceiro grau para isso é "x" menos 1/2x² mais 2x³ e acabamos. Isso foi um pouco complicado, você deve apreciar como, além do cálculo, é apenas uma fração de álgebra. Eu simplesmente aprecio. Eu só preciso do terceiro grau e não tenho que distribuir isso vezes um número infinito de termos. Porque, no início, você pode dizer: Nossa, isso é super difícil. Como multiplico dois polinômios infinitos? A chave é que só nos preocupamos com o terceiro grau, até o terceiro grau.