If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:9:24

Transcrição de vídeo

nós temos aqui a função gd x sendo igual à x ao quadrado vezes o logaritmo natural de x e o que nós queremos aqui nesse vídeo encontrar os extremos relativos e absolutos no caso quando o nosso extremo relativo se tornam extrema de sua luta nós também podemos chamá-los de extremos globais que aí pode ser um ponto de mínimo um ponto de máximo sendo um ponto de mínimo máximo relativo ou sendo um ponto de mínimo ou máximo absoluto que como eu disse podem ser pontos de mínimo ou máximo globais quando nós tivemos um ponto de mim mãe que não haja nenhum outro ponto menor do que ensinar a função esse ponto de mínimo vai ser o mínimo global e o mesmo ocorre com o ponto de máximo então vamos determinar esses extremos relativos é que identificar se eles se tratam de pontos de máximos e mínimos esses são pontos de máximos e mínimos apenas relativos ou absolutos a primeira coisa que nós temos que fazer aqui a observar essa função é se preocupar com o domínio dessa função ou seja quais os valores de x que estão definidos para essa função aqui nesse caso se a gente analisar o x elevada ao quadrado a gente pode atribuir qualquer valor do conjunto dos números reais no entanto quando a gente observa um logaritmo natural de x o logaritmo natural de x só admite valores que são maiores do que zero a gente não pode atribuir nenhum valor ao x que seja menor ou igual a zero então domínio da nossa função é para todos os valores em que o x é maior que zero todos os valores reais em que os x é maior que zero aqui então nossa função está definida neste domingo depois que nós observamos o domínio já vimos para quais os valores que o x está definido nós podemos encontrar derivada para essa função porque é a partir dessa derivada que nós vamos encontrar os pontos críticos ou seja aqueles pontos em que a gente pode ter um ponto de máximo ou mínimo então vamos lá vamos de levar essa função gtx a derivada de x ou cg linha de x é igual a derivada de x e levar o quadrado vezes o logaritmo natural de x e qual é a derivada dessa expressão pra gente de levar essa expressão a gente precisa utilizar a regra do produto que é como a gente vai derivar a primeira expressão e multiplicar pela segunda e depois o mar com uma primeira expressão visitas a derivada da segunda parte aqui então inicialmente nós vamos ter que derivativos ao quadrado ea derivada de x ao quadrado é igual a 2 x e multiplicar isso pelo logaritmo natural de x em seguida a gente vai somar aqui com x ao quadrado x elevada ao quadrado vezes a derivada do logan ritmo natural de x que é um sobre x assim nós vamos ter x ao quadrado vez um sobre x que é apenas igual à china a gente pode apagar toda essa parte aqui e ficar apenas com x então essa aqui é a derivada de gt x ou seja um gelinho dx beleza ok agora que nós já derivamos para a gente encontrar os pontos críticos nós precisamos encontrar os pontos em que essa derivada ou é igual a zero ou é indefinida vamos fazer a primeira parte é encontrar os pontos em que a derivada é igual a zero então para encontrar os pontos críticos nós vamos dizer que 2 x vezes o lnd x + x é igual a zero o que nós podemos fazer aqui agora subtrair porches dos dois lados dessa expressão certo assim nós vamos ter 2 x vezes o lnd x x - x é igual a 0 sobra apenas isso aqui desse lado e 0 - x é igual a menos x agora como o nosso objetivo é encontrar esse xis aqui nós podemos dividir por 2 x dos dois lados dessa expressão a 100 desse lado esquerdo vai sobrar apenas o lnd x o logaritmo natural de x e desse lado que a gente vai ter menos x / 2 x 1 - x / 2 x é igual a 1 sobre dois então nós temos que o logaritmo natural de x é igual a 1 sobre dois como o nosso objetivo é encontrar o valor de x a gente pode aplicar o exponencial dos dois lados aqui dessa equação assim nós vamos ter elevado a lnd x isso sendo igual aí elevado a - um sobre dois o elevado eo lnd x é igual ao próprio x já que todas as vezes que a gente tem o elevado a lnd alguma coisa isso vai ser igual a essa coisa e isso aqui vai ser igual à elevada - um sobre dois que é igual a 1 sobre a raiz quadrada de então esse aqui é o valor de x que satisfaz essa igualdade ou seja o valor na qual a derivada de gd x é igual a zero então já encontramos um ponto crítico será que existe algum outro ponto crítico para encontrar um possível outro ponto crítico nós temos que encontrar valores em que essa derivada não é definida bem nós podemos atribuir qualquer valor que praxes e o mesmo se aplica que a 2 x mas quando nós observamos aqui esse lnd x o lnd x só admite valores para x em que os x é maior que zero então nós não podemos usar valores é que são menores fizeram no entanto nós já colocamos essa limitação é que em cima na função certo então nós só vamos ter valores aqui que são maiores que zero então no intervalo em que x é maior que zero até o infinito nós não vamos ter nenhum ponto de indefinição então o único ponto crítico nesse intervalo ou seja no intervalo no nosso domínio é x igual a 1 sobre a raiz de agora que nós já temos esse ponto crítico nós podemos avaliar valores antes e depois e com isso saber se a função está decrescendo ou crescendo antes e depois desse ponto pra então dizer se esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo pra fazer isso eu sempre gosto de utilizar que uma reta uma reta dos números reais então vamos colocar essa reta que em que o x está crescendo para lá a gente vai ter aqui - 10 1 e 2 a gente poderia até colocar outros valores mas vamos trabalhar só com esse intervalo aqui o nosso x ou seja o nosso ponto crítico x igual a 1 sobre a raiz quadrada de é igual a quanto nós podemos pegar a calculadora para fazer esse cálculo um dividido abro parênteses a raiz quadrada o número é aproximadamente 2,7 então vamos só colocar um valor aproximado que isso vai ser aproximadamente 0,61 só pra gente ter uma aproximação então esse ponto x ficar mais ou menos aqui não aqui nós vamos ter um sobre a raiz quadrada de hockey então esse é o nosso ponto crítico ea gente vai avaliar valorizam antes e depois dele então vamos avaliar esse intervalo que vai de zero até esse ponto 11 sobre a raiz quadrada de ir afinal de contas o nosso domínio está definido apenas em valores que são maiores do que zero então a gente não tem nem aqui um valor x igual a zero é apenas valores maiores até esse ponto x igual a 1 sobre a raiz quadrada de então vai ser esse intervalo aqui pra gente avaliar esse intervalo a gente pode pegar nossa derivada e calcular para algum ponto dentro desse intervalo e aí ver se essa derivada vai ser positiva ou negativa se a derivada por positiva significa que a função está crescendo nesse intervalo se a derivada for negativa significa que a função está decrescendo nesse intervalo então vamos fazer isso aqui a gente vai pegar gelo linha de x em que x é algum valor dentro desse intervalo a gente pode utilizar como exemplo 0,1 isso vai ser igual a duas vezes 0,1 vezes um lugar íntimo natural de 0,1 a mais e não vinculam duas vezes 0,1 é igual a 0,2 certo então dois meses 0,1 é igual a 0,2 vezes o lnd 0,1 enquanto que vale o lnd 0,1 ver gente já sabe que o logaritmo os naturais para valores entre 0 e 1 é negativo não está aqui já vai ter como resposta um valor negativo mas quanto que vai se bem no lugar de timo natural de 0,1 é aproximadamente igual a menos 2,3 2,3 isso aqui vezes 0,2 vai me dar algo em todo algo em torno de menos 0,46 claro que a gente vai somar isso com 0,1 que de qualquer forma a gente vai ter um valor que é negativo certo mais ou menos 0,36 isso aqui vai ocorrer com qualquer valor dentro desse intervalo então a gente sempre vai encontrar um valor negativo então nesse intervalo aqui que vai em 30 e 1 sobre a raiz quadrada de ea gente vai encontrar uma derivada de higiene x sendo menor que 0 sendo negativo então se a gente tem uma derivada negativa que significa que a função está decrescendo desse lado agora vamos para o próximo intervalo próximo intervalo vai ser para valores maiores que esse ponto então o intervalo que vai entre 1 sob a raiz quadrada de infinito então vamos pegar a derivada qualquer valor que esteja dentro desse intervalo para avaliar essa função está crescendo ou decrescendo a gente pode pegar como exemplo que o x igual a 1 não há gente vai pegar o g linha em que os x é igual a um isso vai ser igual a duas vezes 1 vezes o logaritmo natural de um mais um certo o logaritmo natural de um agente já sabe que é igual a zero a gente vai ter duas vezes um que é 20 que é 00 mais um é igual a um então nós vamos ter aqui nesse intervalo um valor para derivada sendo maior que zero e isso vai se aplicar qualquer valor aqui dentro desse intervalo então se a gente sabe que antes desse ponto a função está decrescendo ou seja a função está decrescendo antes desse nosso ponto crítico ea função está crescendo depois desse ponto crítico significa que esse ponto é um ponto de mínimo o ponto de mínimo relativo agora será que ele vai ser um ponto de mínimo absoluto sim porque não existem valores menores com ele nem se nem depois dessa função observa que por exemplo a nossa função a gente tem aqui x ao quadrado certo vezes o lnd x se eu colocar valores aqui que são maiores do que esse nesse ponto a função sempre vai crescer certo e se eu colocar valores a quiche também são maiores do que esse a função desse lado que também cresce não tão rápido quanto x ao quadrado mas de qualquer forma cresce então a gente tem um produto entre duas funções que estão crescendo nesse intervalo e decrescendo aqui nesse intervalo sendo assim a gente nunca vai encontrar um outro ponto que seja menor que esse aqui então esse daqui é um ponto de mínimo absoluto nós temos um ponto de um mínimo absoluto em x igual a 1 sobre a raiz quadrada de mas será que existe algum ponto de máximo relativo ou absoluto não porque conforme você pode observar que novamente a função vai estar sempre crescendo todas as vezes que você colocar um valor xis em que esse xis tende ao infinito você vai encontrar uma função tem deus não é infinita ou seja ela estará sempre crescendo se ela está sempre crescendo não existe um valor máximo absoluto então não existe o máximo absoluto ok agora eu já mostrei tudo isso aqui pra você que tal a gente dá uma olhada no gráfico que representa essa função e se daqui é o gráfico que representa a função que eu mostrei pra vocês aqui a função está decrescendo até chegar a um ponto em que esse ponto está mais ou menos aqui em x igual a 1 sobre a raiz quadrada de que inclusive ao ponto em que a derivada é igual a zero ea partir desse ponto a gente sempre vai ter uma função crescendo então a função está decrescendo desse lado e crescendo desse lado portanto esse ponto aqui é um ponto de mínimo absoluto