Teorema do valor médio (antigo)

Eu recebi varios pedidos para explicar ou ensinar o Teorema do Valor Medio. Entao vou fazer Isso neste video. Este e' o teorema do Valor Medio E eu tenho sentimentos confusos sobre o theorem a do valor medio. E eu tenho sentimentos confusos sobre o teorema do Valor Medio. E' bem interessante, mas voce vera que pode nao ser Facil prova-lo, mas o conceito e' bastante obvio. E a razao pela qual tenho sentimentos confusos sobre ele, e' por que apesar de Dificil, como espero que voce veja, a intuicao e' muito Clara, mas se limitado a livros de Matematica, e pessoas estao Somente tentando aprender Calculo, e ir ao que realmente importa e Incluem o teorema do valor Medio ai, e eles tem Todas essas notacoes de funcoes, e tem Todas essas Palavras, o que acaba confundindo as pessoas. Entao espero que esse video clarifique um pouquinho E estou curioso para saber o que voce pensa a respeito do teorema. Entao vejamos.. O que o teorema do valor Medio diz? Deixe me desenhar alguns eixos. Farei primeiro uma explicacao visual Acho que Isso pede uma cor carmim(magenta) Entao este e' o meu eixo X Este e' o meu eixo Y. E digamos que eu tenha uma funcao f de x. Vou desenhar a funcao f de x. Boa como qualquer outra :) E nessa funcao, colocarei Algumas condicoes f de x tem que ser continua e diferenciavel. E sei que muitos de voces se intimidam Quando ouvem essas palavras Soa como discursos de matematicos e Soa muito abstrato. O termo "continua" significa que a curva e' toda conectada A medida em que voce a percorre E aqui, as condicoes se encontram em um intervalo fechado Esse e' um outro termo muito especifico de Matematica que voce vera Entao, voce frequentemente dira, intervalo de a ate b. Que so' significa um intervalo, digamos que a e' o ponto baixo Digamos que esse e' o ponto a, Nao sabemos que número e' Poderia ser -5, ou outro E digamos que b, aqui, nessa posicao Ok, esse e' o ponto b. Entao quando falamos de um intervalo fechado, definido por um Intervalo fechado, significa que a funcao precisa ser Para cada número existente entre a e b, e a funcao precisa Ser definido para o ponto a e para o ponto b inclusive. Se falassemos de um intervalo Aberto entre a e b Entao Significaria que e' Somente definida para os valores que se encontram entre a e b, Mas Nao necessariamente nos pontos a e b. Entao tem que ser "continua",diferenciavel, e digamos e' definida sobre um intervalo fechado, e Isso e' apenas A notacao para Isso, a b. Entao significa que tem que ser definida para todos os valores de x Desde(inclusive) o ponto a ate inclusive o ponto b. Se fosse um intervalo Aberto, voce escreveria assim... Voce escreveu a e b. Significa um intervalo para todos os numeros entre a e b, mas excluindo o a e o b. Entao, vamos ignorar Isso por agora E Voltar ao teorema do valor Medio. Voce sabe, espero que saiba :), o que a palavra "continua" significa Deixe me desenhar uma funcao que Nao e' continua.. Essa funcao seria Como essa.. Iria por aqui, e recomecaria Aqui.. Desse jeito Certo? Este seria Entao um exemplo de uma funcao, digamos Desenhando nos mesmos eixos mas com cor diferente Se esse fosse nosso eixo y-- no, Isso Nao esta bom Se esse fosse nosso eixo y, e esse o nosso eixo x, Somente para Te dar uma referencia do que eu desenhei. Portanto, se a função é contínua, contínua, contínua e, em seguida, ele salta, desconecta, que faria essa função descontínua, ou Nao seria uma função contínua. Portanto a função tem que ser contínua. E agora o que diferenciável significa? Significa que em cada ponto no intervalo que nos interessa, você tem que ser capaz de encontrar a derivada. Isso significa que você pode tomar o derivado dele. É um diferenciável. E o que isso significa? Bem, isso significa que se você fosse para a derivada de gráfico desta função, que também é contínua. E vou deixar que você pense sobre isso por um segundo. E realmente, neste vídeo eu vou lhe mostrar um exemplo de uma função é contínua, mas não diferenciável e por causa disto, o teorema do valor médio quebra. Mas enfim, vamos voltar ao teorema do valor médio. A maioria das funções com que lidamos atender a todas três destas coisas. A menos que, você sabe, você está fazendo limite problemas, e eles tentam fazer estas coisas quebrar para baixo. Enfim, de volta para a função. Portanto, essa função atende a todos esses requisitos. Então tudo que ele diz é, se eu foram tomar a inclinação média entre o ponto a e ponto b. Então, qual é a inclinação, a inclinação média entre ponto a e ponto b? Bem, o declive é apenas ascensão prazo, certo? Então o que é? Deixe-me ver se posso chamar o declive médio. Assim, a execução seria esta distância. Isso seria a execução, direita, e este seria o aumento. Então este é o ponto, aqui, certo que da o ponto a, f de um. Por aqui, este é o ponto b, f de b. Então, qual é a inclinação média entre a e b? Bem, é ascensão ao longo da execução. O que é a ascensão? O que é esta distância? Quanto nós subiram de f à f do b? Bem, o aumento só será f de b, isto altura, menos f de um. f de b menos f de um. E o que é a execução, o que é esta distância? Bem, é apenas b menos um. E se eu fosse para desenhar uma linha que tenha essa inclinação média, ele poderia ser algo como isto. Nós poderia fazê-lo passar por esses dois pontos, mas realmente não precisa. Deixe-me fazê-lo em um azul. O que é a inclinação média entre aqueles dois pontos, certos? Assim que o teorema do valor médio diz-nos? Ele diz, se f de x é definida sobre este intervalo fechado de um b e f de x é contínua, e é diferenciável, que você poderia tomar a derivada em qualquer ponto, que deve haver algum prime de f c pontos de c é igual a essa coisa. Então, é igual ao prime de f de c. Eu não deveria ter escrito aqui. Então o que é que nos dizendo? Assim, tudo o que está dizendo a nós, é se estamos contínuas, diferenciável, definido durante o intervalo, que Existe algum ponto c, Ah, e c tem de estar entre um e b, existe em algum ponto entre a e b e poderiam ser em um dos pontos, mas existe algum ponto c onde a derivada em c, ou a inclinação a c, a inclinação instantânea a c, é exatamente igual a inclinação média durante esse intervalo. Portanto, o que isso significa? Assim nós pode olhá-lo visualmente. Há qualquer ponto ao longo desta curva onde a inclinação parece muito semelhante a este declive médio que temos calculados? Bem, com certeza, vamos ver. Parece que, talvez, neste ponto, aqui? Do jeito que eu desenhei ele. Isso é muito inexato. Mas esse ponto parece com a inclinação, você sabe, eu poderia dizer que a inclinação é algo assim, ali mesmo. Portanto, nós não sabemos o que, analiticamente, essa função é, mas visualmente, você poderia ver que a este ponto c, o derivativos, então eu só peguei esse ponto. Assim, isso poderia ser nosso ponto c. E como nós apenas diz que? Bem, porque f prime de c é este declive, e é igual para a inclinação média. Então f prime de c é essa coisa, e ele vai ser igual a a inclinação média sobre a coisa toda. E esta curva na verdade provavelmente tem outro ponto onde o declive é igual à inclinação média. Vamos ver. Este parece, assim, à direita em torno de lá. Do jeito que eu desenhei ele. Parece que a inclinação lá poderia ser algo como, poderia também ser paralelas. Estas linhas devem ser paralelas. As linhas tangentes deveriam ser paralelas. Por isso espero que isso faz sentido um pouco para você. Outra maneira de pensar sobre isso é que sua média, na verdade, Deixe-me desenhar um gráfico só para ter certeza de que podemos atingido o ponto de origem. Vamos chamar a minha posição em função do tempo. Então isso é algo, isso vai torná-lo aplicável para o mundo real. Assim que é meu eixo x ou eixo de tempo, que o meu eixo de posição. Isso vai voltar à nossa intuição original do que é mesmo um derivado. Isso é tempo, e eu chamo essa posição, ou à distância, ou não importa. Posição. E se eu estava se movendo em uma velocidade constante, a minha posição como uma função do tempo seria apenas uma linha reta, certa? E a velocidade é realmente sua inclinação. Mas vamos dizer que eu tinha uma velocidade variável. E na realidade, se você está dirigindo um carro, você está sempre a uma velocidade variável. Então, vamos dizer que eu iniciar uma paralisação no tempo t é igual a 0, e então eu acelerar, então eu desacelerar um pouco, desacelerar um pouco, eu manter desaceleração e, em seguida, eu venho a paralisação, então minha posição permanece ainda. Então eu novamente acelerar, desacelerar, acelerar, et cetera. Direito? Assim que este poderia ser, você sabe, eu tenho uma velocidade variável, e Esta poderia ser a minha posição em função do tempo. Então tudo isso diz, vamos dizer que após este é tempo 0, posição 0. Digamos que depois de 1 hora, vamos dizer que é de 1 hora, desta vez é igual a 1 hora, vamos dizer ter ido 60 milhas. Então o que você diz? Você poderia dizer que minha velocidade média é igual a alteração apenas no distância dividida pela mudança em tempos. Ele é igual a 60 milhas por hora. Então o que diz o teorema de valores médios, é OK. Sua velocidade média, assim que você quase podia vê-lo como o declive médio entre esse ponto e este ponto com 60, Se sua velocidade média foi de 60 quilômetros por hora, havia alguns ponto no tempo, talvez mais, mas houve pelo menos um ponto em tempo, onde você estava indo exatamente sessenta quilômetros por hora. Isso faz sentido, certo? Se você em média 60 quilômetros por hora, talvez você vai 40 quilômetros por hora, que alguns do ponto, mas em algum ponto você fui 80, e no meio você tinha que estar indo 60 quilômetros por hora. Então deixe-me ver se posso chamar que graficamente. Portanto, esta inclinação é minha velocidade média e a maneira que eu desenhei ele, não há provavelmente dois pontos, vamos ver, provavelmente direita por aqui, eu estava indo provavelmente 60 quilômetros por horas, a inclinação é, provavelmente, 60 lá, o retardo velocidade provavelmente lá, também. Assim antes de eu sair, vamos fazer isso analiticamente, apenas para trabalhar com números. E a razão por que eu tenho sentimentos mistos sobre o valor médio Teorema, é útil mais tarde sobre, provavelmente se você se tornar um matemática Major você talvez vou usá-lo para provar alguns teoremas, ou talvez você vai provar, propriamente dito. Mas se você apenas estiver aplicando o cálculo na maior parte, você não vai estar usando o valor médio Teorema demasiado. Mas enfim, se você tem a conhecê-lo, você tem a conhecê-lo, e diz-lhe algo mais sobre o mundo, por isso, é interessante dessa forma. Então, vamos dizer, temos a função f de x é igual a x ao quadrado menos 4 x e o intervalo em que eu me importo aqui é entre, é um intervalo fechado, então estou incluindo 2, de 2 a 4. Agora, o teorema do valor médio nos diz que, se isso função é definida neste intervalo, e é, certo? Nós poderia colocar qualquer número. O domínio desta é realmente todos os números reais, eu poderia colocar qualquer número, então, obviamente, vai ser definido durante este intervalo. Mas assim que ela é definida no intervalo, isto é contínuo, Esta é diferenciável. Você poderia tomar a derivada e a derivada é contínua. Portanto, o teorema do valor médio deve aplicar-se aqui. Então vamos ver qual o valor de c é igual à média inclinam-se entre 2 e 4. Então, qual é a inclinação média entre 2 e 4? Bem, ele vai ser f de 4, então a alteração na função, f de 4 menos f de 2 dividida pela mudança em x, então 4 2 sinal de menos. Assim este igual a inclinação média. Então f de 4 é 16 menos 16, certo? Assim que é 0. Permitam-me que certifique-se de que. 4 vezes 4, 16, menos 4 vezes 4, 16, à direita. Menos f de 2. f de 2 é 2 elevado ao quadrado, é 4, direita e então menos 4 vezes 2. Assim, menos 8. Tudo isso sobre 2. E, portanto, isso é igual a menos 4. Então isso é igual a 4 mais de 2. Portanto, a inclinação média de x é igual a 2 x é igual a 4 é 2. E agora o teorema do valor médio nos diz, que deve haver algum ponto entre estes dois, talvez incluindo um dos aqueles, onde o declive nesse momento é exatamente igual a 2. Vamos descobrir o que isto é ponto. Que c. Vamos dar a derivada, pois a derivada em c vai ser igual a 2. Assim, levamos apenas a derivada. Então, vamos dizer prime de f de x é igual a 2 x menos quatro. E nós queremos descobrir, no qual o valor de x faz esta 2 iguais. Por isso dizemos, 2 x menos 4 é igual a 2. Onde o declive é igual a 2? E você recebe 2 x é igual a 6, x é igual a 3. Portanto, se x é igual a 3, a derivada é exatamente igual para a inclinação média. Mas deixe-me ver se eu pode, deixe-me começar a representar graficamente Calculadora aqui. Permitam-me que eu posso fazer. Razoável. Então aqui está o gráfico de x ao quadrado menos 4 x. Deixe-me ver se eu posso fazer um pouco maior. O intervalo que nos interessa é aqui para aqui. Assim que a inclinação média durante esse intervalo era 2. Para se desenhar o declive, era assim, o inclinação seria parecido com isso. E no ponto 3, o declive é exatamente 2. Então deixe-me realmente que desenhar. Isso não é muito difícil de desenhar, por mim mesmo. Deixe-me ver. Assim se é que o eixo x, eu vou querer esse gráfico fora do caminho. Que é o eixo y. Assim o gráfico passa pelo ponto 0, 0 como perfeitamente possível. Nope, que não é puro. Portanto o gráfico vai algo como isto, ele mergulha até, então ele vai gosta que e realmente aquilo mantém indo para cima, como esse, é uma parábola. Então este é o ponto 4. O ponto 2 é aqui. E a 2 que estamos no 4 negativo, então o vértice está no o ponto 2, menos quatro. Então, o que dissemos, a inclinação média, então o intervalo fechado que nos interessa, entre 2 e 4, é de 2 aqui a 4 aqui. Que é o intervalo, 2 a 4. A inclinação média é 2. Não se parece com ele, só porque eu tenho o tipo de comprimidos do eixo y. E nós estamos dizendo, no ponto x é igual a 3, o declive é igual a exatamente isso. Assim em x é igual a três, a inclinação é igual a mesma coisa. Isso é tudo é o teorema do valor médio. Eu sei que soa complicada. As pessoas falam sobre continuidade, diferenciabilidade e f prime de c e tudo isso, mas tudo o que diz é que há alguns ponto entre estes dois pontos onde a inclinação instantânea, ou declive exatamente nesse ponto, é igual a encosta entre estes dois pontos. Espero que não confundi-lo.