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Cálculo de extremos relativos (teste da derivada de primeira ordem)

Transcrição de vídeo

no último vídeo nós observamos o gráfico aqui dessa função e identificamos os pontos máximos mínimos e os pontos críticos e nós chegamos à conclusão inclusive que quando nós temos um ponto de máximo e mínimo esse ponto vai ser um ponto crítico ea gente pode até escrever isso daqui novamente nós teremos um valor de máximo ou mínimo para a função em x igual a isso significa dizer então que x igual a vai ser um ponto crítico então é um ponto crítico beleza mas nesse vídeo que eu quero partir dessa idéia é a gente tentar encontrar uma definição pouco mais geral utilizando a idéia de privada e pra fazer isso nós vamos observar novamente que o que nós já havíamos no vídeo passado no vídeo passado nós identificamos que esse ponto aqui é um ponto de máximo certo ou seja nesse ponto a função tinha um valor de massa então nesse ponto em que a gente tenha um x igual à x 0 nós vamos ter um ponto de máximo e se você observar bem aqui nesse ponto nesse ponto a gente tem uma derivada igual a zero e isso faz todo o sentido porque sempre que a gente tem uma derivada igual a zero ou uma derivada indeterminada nós teremos um ponto crítico então pelo fato da derivada nesse ponto ser igual a zero ou seja a gente tem uma reta tangente com uma inclinação igual a zero nós teremos aqui um ponto crítico e observando bem conforme a gente já identificou no último vídeo esse ponto é um ponto de máximo seja nós temos um valor máximo aqui nesse ponto como que a gente pode relacionar essa informação com a idéia de derivada bem já vimos que é derivada que é igual a zero certo afinal de contas se trata de um ponto crítico se a gente observar que antes desse ponto à medida que a gente vai se aproximando aqui desse ponto x 0 a nossa derivada da vai ficando cada vez menos positiva mas ela ainda é positiva então nós começamos como a derivada positiva que uma inclinação positiva e à medida que a gente se aproxima desse ponto a derivada vai ficando cada vez menos positiva até xii a 0 então antes desse ponto nós vamos ter uma derivada positiva então a derivada da função antes desse ponto crítico é a positiva haia derivada fica igual a zero nesse ponto e depois que a gente passa desse ponto é derivada vai ficando cada vez mais negativa a inclinação da reta tangente vai ficando cada vez mais inclinada para baixo ou seja cada vez mais negativa então depois desse ponto a gente vai ter uma derivada negativa então a derivada da função depois desse ponto aqui vai ser menor quiseram seja negativa bem quais são as conclusões que a gente pode tirar a respeito dessas informações primeiro a gente tem o ponto crítico aqui certo afinal de contas é derivada é igual a zero nesse ponto x ela antes desse ponto a nossa derivada é positiva e depois desse ponto a nossa derivada é negativa então a gente pode dizer que então vamos escrever essa informação aksu pando que a gente tenha um ponto crítico em a esse ponto crítico vai ser um ponto de máximo quando conforme observamos aqui a gente tem um valor máximo não têm a nossa função não tem o valor máximo aqui um valor máximo local nesse caso do bem mas é um valor máximo antes desse valor máximo a gente tinha uma derivada sendo positivo e depois desse ponto a gente tinha uma derivada sendo negativa então pra esse ponto crítico seu ponto de máxima a gente vai ter uma mudança de cenário da derivada do positivo para o negativo é a derivada que é positiva e vai se tornando cada vez menos positiva até chegar nesse ponto que é zero e aí depois desse ponto é derivada fica negativo cada vez mais negativa então esse ponto vai ser um ponto de máxima ou seja nós vamos ter um ponto de máximo quando a derivada troca de sinal de positivo para negativo quando atravessamos o ponto x igual à então foi isso que a gente fez aqui a gente atravessou esse ponto x igual a zero nesse caso ea atravessar esse ponto é derivada mudou de sinal de positivo para o negativo então essa daqui a definir são de um ponto crítico em que esse ponto crítico é um ponto de máximo bem nós identificamos aqui também que este outro ponto é um ponto de máximo certo vamos ver se há definição se aplica esse ponto a gente tem aqui uma derivada positiva e quando a gente atravessa esse ponto nós vamos encontrar derivadas negativas com inclinação sendo negativa por mais que esse ponto seja um ponto de determinação esse ponto atende a esse critério a atravessar esse ponto xis aqui a derivado está mudando de sinal de positivo para o negativo então por isso nós temos aqui um ponto de máximo vamos observar se esse ponto que nós identificamos também na aula passada atende a esse critério bem nesse caso não vai atender esse critério porque aqui a gente tem uma derivada negativa e depois desse ponto a gente continua tendo uma derivada negativa por mais que nesse ponto é derivada seja igual a zero a gente vai ter uma derivada negativa nesse ponto fica igual a zero depois volta a ficar negativo então isso aqui não é um ponto de máximo rock no vídeo passado nós também identificamos esse ponto mas esse ponto é que não era um ponto de máximo esse o ponto de mínimo conforme a gente consegue até observar isso daqui graficamente vamos chamar esse ponto aqui de x 1 já que esse xls daqui vai ser x 1 e se aqui vai ser x 2 e esse daqui vai ser x 3 o ponto x 0 eo ponto x 2 são ponto de máximo já que atende a esse critério esse ponto x 3 não atende esse critério então ele não é um ponto de máximo mas esse ponto x 1 é um ponto de mínimo e vamos ver o que está acontecendo aqui à medida que a gente se aproxima do x1 a gente vai encontrar derivadas negativas essa derivada negativa mas vai se tornar cada vez menos negativa até chegar nesse ponto é que nesse ponto é derivada é igual a zero que inclusive se trata de um ponto crítico então aqui antes de passar por esse ponto a gente vai ter uma derivada da sendo negativo seja menor que 0 aí depois que a gente passa por esse ponto a gente vai encontrar inclinações de reta tangente sendo positivas ou seja derivada das positivas então depois que a gente atrás peço ponto o ponto x 1 aa derivada da função se torna positiva o que nós podemos concluir a partir disso que sempre que a gente tem um ponto crítico em que nesse ponto crítico é derivada da função está trocando de sinal do negativo para o positivo nós vamos ter um ponto de mínimo então nós podemos dizer que nós temos um ponto de mínimo quando a derivada da função ou seja é fininha de x troca de sinal de negativo para positivo quando atravessamos x igual à que é o que aconteceu aqui quando a gente atravessou a que esse ponto x 1 aa derivada da função trocou de sinal do negativo para o positivo quando a gente atravessou esse ponto x 1 agora será que esse ponto x 3 seria um ponto de mínimo não porque conforme a gente viu aqui a derivada era negativa a gente atravessou o ponto e aí ela voltou a ser negativo então não houve uma troca de sinal então esse ponto é que não é um ponto de mínimo e nem o ponto de máximo apesar de ser um ponto crítico então essas são as definições de ponto de máximo e mínimo a partir da idéia de derivada esse ponto crítico sempre vai ser um ponto de máximo quando a derivada da função trocar o sinal de positivo para o negativo e vai ser um ponto de mínimo quando é derivada da função trocar de sinal do negativo para o positivo nesse ponto crítico claro