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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Área e comprimento de arco usando cálculo.
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Transcrição de vídeo
Neste vídeo, queremos encontrar o comprimento do arco de uma pétala -- creio que podemos chamar assim -- do gráfico de <i>r</i> igual a quatro seno de dois theta. Queremos encontrar o comprimento desta parte da curva, que está em vermelho aqui. Faremos isto em duas etapas. Primeiro montamos a integral definida para o cálculo do comprimento do arco, e então efetuamos o cálculo. Vou usar a calculadora para simplificar o processo. -- pelo menos na parte da integral -- Então, mãos à obra. Eu lhe convido a pausar o vídeo. Conhecendo a forma do comprimento do arco, quando a forma polar é dada, tente aplicar ela para decobrir o comprimento deste arco. Assumindo que você tentou. Lembremos que o comprimento do arco será a integral do nosso ângulo inicial ao nosso ângulo final -- digamos de alfa à beta -- da raiz quadrada da derivada de nossa função -- que é uma função de theta -- ao quadrado, mais nossa função ao quadrado <i>d</i> theta. Vejamos o que nosso <i>r</i> linha de theta e o que <i>r</i> de theta são. -- Vou definir um código de cores -- <i>r</i> linha de theta -- sabemos o que é <i>r</i> de theta -- Deixe-me reescrevê-lo. Sabemos que <i>r</i> de theta é igual a quatro seno de dois theta. <i>r</i> linha de theta será... -- derivada de dois theta em relação a theta é dois -- vezes quatro é oito, derivada de seno é cosseno cosseno de dois theta. Se quisermos escrever a integral definida para o comprimento do arco este será igual à integral definida.. Qual é o nosso limite inicial? Para a pétala que nos interessa, começaremos no ângulo zero radianos. No ângulo zero radianos, <i>r</i> é zero. É este ponto aqui. Nós começaremos em zero radianos. E iremos até <i>pi</i> sobre dois. Seno de dois vezes <i>pi</i> sobre dois é seno de <i>pi</i> -- que é zero --. Então nós voltaremos a este ponto aqui. Assim, iremos de zero a <i>pi</i> sobre dois radianos. Isto será a raiz quadrada de... -- preciso de um pouco mais de espaço -- quadrado de <i>r</i> linha de theta -- que será isto ao quadrado -- será 60... -- deixe-me usar o mesmo azul -- Será 64 cosseno ao quadrado de dois theta mais isto ao quadrado, que será 16 seno ao quadrado de dois theta e, é claro, <i>d</i> theta. Você pode tentar resolver isto de forma analítica. Porém, isto não é trivial. Por isto vou usar a calculadora. Assim conhecemos ferramentas disponíveis nos ajudam com este tipo de problemas. Faremos a integral definida, vou para o segundo cálculo na minha <i>t85</i> e seleciono a opção para integral definida. Vamos expressar do que estamos calculando a integral definida. É da raiz quadrada de 64 vezes cosseno do quadrado de dois theta. Vou usar <i>x</i> no lugar de theta, já que é uma variável mais fácil de usar nesta calculadora. Cosseno de dois... permita-me certificar que os parênteses estão corretos. Cosseno de dois <i>x</i>... -- ok, vou fechar este -- Agora eu quero elevar isto ao quadrado. Boa, terminei a primeira parte. Mais 16 vezes seno de dois <i>x</i>. Fecha este, fecha este. Ao quadrado. Não estou certo de que a calculadora interpretará isto como multiplicação, vamos inserir um <i>vezes</i> aqui. 64 vezes cosseno de dois <i>x</i>, tudo isto ao quadrado. Mais 16 vezes seno de dois <i>x</i>, tudo aquilo ao quadrado. Agora vamos ao final. Deixe-me fechar o radical. Isto fecha aquilo ali. Isto delimita do que estou tirando a raiz. Vírgula a variável em relação a qual estou integrando, que, neste caso, é <i>x</i>. Onde há theta aqui, estou substituindo por <i>x</i> lá. E quero calcular isto de... no lugar de dizer theta igual a zero a <i>pi</i> sobre dois, diremos de <i>x</i> igual a zero a <i>pi</i> sobre dois. Espero não ter cometido erros digitando. É o resultado é... está demorando um pouco... E temos... será que ela vai conseguir? Finalmente! Se quiséssemos arredondar na terceira casa seria 9.688. Aproximadamente 9.688. Vejamos, essa resposta faz sentido? Ele se afasta cerca de quatro unidades. Se você se afastasse quatro e voltasse, isto seria aproximadamente oito. Claro, nos afastamos algumas unidades, então intuitivamente faz sentido que o comprimento do arco seja 9.688. Espero que você tenha gostado. Legendado por [ José Irigon ] Revisado por [Victor Oliveira]