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Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Área e comprimento de arco usando cálculo.
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Transcrição de vídeo
Neste vídeo quero chegar à fórmula para o comprimento do arco de uma curva definida em coordenadas polares. Então, se essa curva bem aqui é <i>r</i> igual a <i>f</i> de teta, como vamos descobrir o comprimento da curva entre dois tetas, digamos entre teta igual a, bem, neste caso, entre teta zero radianos e pi sobre dois radianos, mas entre qualquer fronteira para <i>r</i> teta. Assim, se a qualquer momento você ficar animado ou inspirado, deve pausar o vídeo e continuar o cálculo do comprimento do arco na forma polar. Este problema será abordado da mesma maneira que olhamos o comprimento do arco em coordenadas retangulares padrão. Então, vamos cortar uma pequena secção do comprimento do arco, que vou ampliar. Então, vamos chamar esse bem aqui, este é o nosso infinitésimo, é nosso trecho infinitesimal, nosso pedaço do comprimento de arco, vou chamá-lo de <i>ds</i>. E, obviamente, este é maior do que possa imaginar quando pensa em infinitesimal, mas, se integrar todos os <i>ds</i> você terá o comprimento curva que você quer. Assim, podemos dizer que o comprimento será todos os <i>ds</i> integrados, a soma de todos os infinitamente pequenos <i>ds</i>. Agora, para colocar de modo que se relacione em termos de <i>r</i> e teta, vou primeiro relacionar com <i>x</i> e <i>y</i> e, em seguida, relacionar os <i>r</i> e tetas com <i>x</i> e <i>y</i>, que vimos antes, quando convertemos de forma polar para forma retangular. Então, sabemos que este <i>ds</i> será igual à uma variação infinitesimal em <i>x</i> ao quadrado. Esta é a nossa variação no comprimento do arco. Mas essa distância, bem aqui seria nossa variação em <i>x</i>, vou escrever como <i>dx</i> e estou escrevendo tudo como diferenciais, que é um pouco matematicamente irregular mas lhe dará uma boa compreensão conceitual de onde isso vem. Eu poderia, sendo um pouco mais preciso, tomar delta <i>x</i> e, eventualmente, tomar limites e tal, mas vou apenas usar isso porque faz mais sentido para o meu cérebro. Então essa é a variação em <i>x</i> ao partir desse ponto a esse ponto. Então essa é a variação em <i>y</i> ao partir desse ponto a esse ponto, <i>dy</i>. Isso já foi visto quando validamos a fórmula para o comprimento do arco em coordenadas retangulares podemos dizer que <i>ds</i> será igual à raiz quadrada de <i>dx</i> ao quadrado mais <i>dy</i> ao quadrado e isto vem do Teorema de Pitágoras. Se pudermos integrá-los, então estamos no mesmo lugar. Mas como escrever em função de <i>r</i> e teta? Bem, para isso, apenas temos que lembrar como é <i>x</i> em função de <i>r</i> e como é <i>y</i> em função de <i>r</i> e teta. Sabemos que <i>x</i> será igual a <i>r</i> cosseno de teta, foi visto pela primeira vez quando começamos a relacionar coordenadas polares e retangulares. E <i>y</i> será <i>r</i> seno de teta. E agora podemos usar isso para escrever <i>dx</i> e <i>dy</i>. lembrando que <i>r</i> é função de teta, portanto, deixe-me escrever desta maneira. Assim, podemos escrever <i>x</i> como <i>f</i> de teta vezes cosseno de teta e <i>y</i> igual a <i>f</i> de teta vezes seno de teta. Então, agora, o que é o <i>dx</i>? Aplicando a regra do produto teremos <i>f</i> linha de teta, derivada da primeira, vezes a segunda, vezes cosseno de teta mais a derivada da segunda. A derivada do cosseno de teta é menos seno de teta. Menos seno de teta vezes a primeira então <i>f</i> de teta, que era apenas a regra do produto, é nosso <i>dx</i>. E então, é claro, <i>d</i>teta. Outra maneira de abordar seria tratar os diferenciais como números, dividindo ambos os lados por <i>d</i>teta, obtendo a derivada de <i>x</i> com respeito a teta igual a esse termo aqui, então são sentenças equivalentes. O mesmo vale para <i>dy</i>. Então, <i>dy</i> novamente, pela regra do produto será <i>f</i> linha de teta vezes seno de teta mais <i>f</i> de teta vezes a derivada do seno de teta, que é cosseno de teta. Cosseno de teta, e agora se quisermos descobrir o que é <i>ds</i>, tomamos a soma do quadrados de <i>dx</i> e <i>dy</i>, então vamos fazer isso. Então, <i>dx</i> ao quadrado será, e só precisamos elevar ao quadrado e, em seguida, multiplicar por <i>d</i>teta ao quadrado, de modo que <i>f</i> linha de teta ao quadrado cosseno de teta ao quadrado, menos 2 vezes o produto de <i>f</i>linha <i>f</i> de teta, cosseno teta, seno teta, e então <i>f</i> de teta ao quadrado, seno de teta ao quadrado. Então, isso é <i>dx</i> ao quadrado e, naturalmente, temos <i>d</i>teta, mas então temos <i>d</i>teta ao quadrado e vamos descobrir o que é <i>dy</i> ao quadrado. Então, <i>dy</i> ao quadrado será igual a ... Bem, este termo quadrado, antes que me esqueça, este <i>dy</i> vai ter um <i>d</i>teta no final, não posso esquecer. E o mesmo aqui, será <i>f</i> linha de teta ao quadrado, seno ao quadrado, seno de teta ao quadrado, mais duas vezes os produtos destas, <i>f</i> linha de teta <i>f</i> de teta é um pouco complicado mas voltaremos logo e vai limpar bem. <i>f</i> de teta, cosseno teta, seno de teta e, em seguida, o quadrado deste mais <i>f</i> de teta ao quadrado, cosseno de teta ao quadrado e, em seguida <i>d</i> teta ao quadrado. Agora vamos juntar esses dois. Então, vamos adicioná-los , e onde vamos chegar? Assim, se somarmos os quadrados de <i>dx</i> e <i>dy</i> teremos <i>dx</i> ao quadrado mais <i>dy</i> ao quadrado igual a cosseno ao quadrado de teta vezes <i>f</i> linha de teta ao quadrado, em seguida, seno ao quadrado vezes <i>f</i> linha de teta ao quadrado. Fatorando <i>f</i> linha de teta ao quadrado teremos colocando esses termos em evidência teremos <i>f</i> linha de teta ao quadrado vezes cosseno de teta ao quadrado mais seno de teta ao quadrado. Aqui vemos que podemos simplificar muito, pois este termo será igual a um, sendo uma identidade trigonométrica. E então, os dois termos médios se cancelam, este é o oposto deste assim os dois se anulam, em seguida, aqui, podemos fatorar um <i>f</i> de teta ao quadrado. Então, fatorando o <i>f</i> de teta ao quadrado, isto se torna <i>f</i> de teta ao quadrado vezes seno de teta ao quadrado mais cosseno de teta ao quadrado Bem, isso simplifica muito bem. Pois será igual a um. E então, temos este e, em seguida, este <i>d</i> teta ao quadrado vezes tudo isso. Então, tudo isso aqui será vezes <i>d</i> teta ao quadrado. Você quase pode vê-los como coeficientes do <i>d</i> teta ao quadrado e adicionamos esses dois coeficientes. Então, agora ficará bem claro, simplificando <i>dx</i> ao quadrado mais <i>dy</i> ao quadrado igual a, <i>f</i> linha de teta ao quadrado mais <i>f</i> de teta ao quadrado. E tudo isso vezes <i>d</i> teta ao quadrado. Já usei essa essa cor. Vou usar o magenta. Tudo isso vezes <i>d</i> teta ao quadrado. Agora sabemos que <i>ds</i> será a raiz quadrada deste, assim <i>ds</i> será igual à esta raiz quadrada, que é igual à esta raiz quadrada. Aqui podemos fatrorar a raiz quadrada de <i>d</i> teta ao quadrado é <i>d</i> teta, então podemos apenas tirar isso. E ficamos com <i>f</i> linha de teta ao quadrado mais <i>f</i> de teta ao quadrado. Extraindo <i>d</i> teta do radical ao inserir seria <i>d</i> teta ao quadrado, ao tirá-lo, ele será <i>d</i> teta. Então, se quiséssemos integrar Digamos, a partir do teta inicial, alfa, até um teta final, beta. E assim, nos demos uma justificativa razoável, ou uma compreensão conceitual, para a fórmula para o comprimento do arco usando a forma polar. Se você tiver <i>r</i> igual a <i>f</i> de teta, e determinar <i>f</i> linha de teta, ou você poderia pensar nisso como a derivada de <i>r</i> em relação à teta, ao quadrado, somando à <i>f</i> de teta ao quadrado, tomar a raiz quadrada e depois integrar em relação a teta, de alfa até beta. E aqui temos nosso comprimento de arco, bem aqui. E os próximos vídeos, usaremos esta fórmula. Legendado por: [Tatiana F. D'Addio]