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Transcrição de vídeo

aqui nós temos o gráfico ou pelo menos parte do gráfico de y igual à x elevada ao quadrado o que eu quero aqui nesse vídeo é determinar o volume de um outro sólido de revolução só que agora ao invés de rotacionar ao redor do eixo x eu vou rotacionar ao redor do eixo y agora a gente não vai observar valores determinados em x mas sem valores determinados em ny e valores que vão variar de y igual a um até y igual a 4 então vamos desenhar aqui a gente pode fazer um corte como se tivesse um corte aquino y igual a 1 aqui dá para visualizar que esse corte certo bem o que a gente pode fazer aqui a gente pode pegar esse gráfico bem aqui eu vou usar essa curva e em vez de rotacionar ao redor de xis como fizemos no último vídeo a gente vai rotacionar ao redor de y assim nós vamos rotacionar lo dessa forma que e aí qual vai ser a forma que nós vamos obter deixou ver se eu consigo visualizar isso a base vai se parecer com algo desse tipo se viermos através dele e isso aqui em cima parte de cima disso vai se parecer com algo mais ou menos dessa forma e o que nos importa que é a parte que está no interior dele não a parte inferior deixou sombra é um pouco isso daqui pra ele se parecia com alguma dessa forma da mesma forma que a gente fez antes vamos desenhar isso separadamente para que a gente possa visualizar melhor eu vou fazer um desenho em ângulos diferentes tudo bem só para melhorar a visualização então se eu fosse desenhar o eixo estão saindo da parte de trás ele ia se pareça com algo desse tipo e aí ele vai ser cortado desse jeito aqui então mas pareceu não sei como podemos chamar essa forma mas eu acho que você esteja conseguindo visualizar forma que está saindo daqui certo a visualização aqui provavelmente a parte mais difícil mas podemos perceber que não é tão difícil assim também ok ele vai aparecer dessa forma talvez se pareça com uma trufa é uma troca de cabeça para baixo vamos desenhar que o eixo y só para entender orientação eixo y está saindo aqui nesse exemplo então vai pra baixo e aqui o eixo x será desenhado desse jeito aqui eu inclinei o eixo para que a gente consiga visualizar essa figura de um outro ponto de vista de um outro ângulo e se topo da direita que é esse topo da direita que ok isso consegue te dá uma idéia de como essa figura se parece mas apesar de toda essa visualização ainda não conseguimos responder à nossa pergunta qual é o volume dessa figura como podemos encontrar o volume dessa figura diferente do que a gente fez antes que foi criar discos com profundidades pequenos e the xx que tal agora a gente criar discos com profundidade medida em de y é legal pensar nisso um pouco então vamos construir um pequeno disco em um certo valor y e esse valor em y que nós vamos construir o disco tem o mesmo raio da forma nesse ponto esse é o nosso disco esse disco tem uma profundidade ou seja uma pequena espessura só que ao invés de termos uma espessura em the xx a gente vai ter uma espessura em de y essa aqui a nossa espessura em de y é a minha pergunta para você agora essa qual vai ser o volume desse disco em termos de y eu acho que você já começou a perceber que nós vamos fazer uma integral definida não em relação à x mas sim em relação à y então qual vai ser o volume dessa figura como nós já fizemos no último vídeo nós temos que descobrir qual vai ser a área da face de cada um desses discos e para encontrar a área da face de um disco que é uma circunferência basta simplesmente multiplicar picon ohio elevada ao quadrado e aí descobri no raio nesse ponto nós conseguimos determinar a área desse disco pelo menos assim área da face desse disco então qual é o raio nesse ponto pra pensar no raio em termos de y nós precisamos resolver essa equação é que colocar em função de y então ao invés de dizer que y é igual à x ao quadrado a gente pode calcular a raiz quadrada dos dois lados e assim dizer que a raiz quadrada de y é igual à x a isso é definido apenas para valorize pilões que não são negativos mas isso é ótimo porque nós estamos observando apenas aqui o lado positivo de y não é e nós temos uma curva no primeiro quadrante ou c já onde x é positivo assim podemos chamar essa função aqui de x igual a raiz quadrada de y agora podemos expressar esse gráfico é essa curva como x sendo uma função de y fazendo isso qual será o raio então da face desse disco o nosso raio aqui será fdny ou seja ser a raiz quadrada de y que é uma função de y eu não quero que você confunda e se f de y com esse fdx isso fdny seria até melhor chamar isso aqui dgd y é para não confundir com fdx e esse g de y seria a raiz quadrada de y assim a área formada por esse disco vai ser igual ap vezes é relevado ao quadrado isso significa que a área vai ser igual ap vezes o nosso raio que é a raiz quadrada de y e isso é levado ao quadrado assim isso vai ficar apenas igual ap vezes y agora que já sabemos a área da face desse disco nós podemos calcular o volume do disco e para calcular o volume do disco basta multiplicar a área da face desse disco com a espessura do disco ou seja de y assim o volume de cada um desses discos será igual ap vezes soam vezes de y isso é o volume do disco o volume de cada um dos discos agora essa gente que é o volume de tudo isso temos que somar todos esses discos para todos os valores indo de y igual a um até y igual a 4 então vamos fazer isso pra calcular isso basta determinará integral definida entre y igual a um y igual a 4 há só um pequeno lembrete a integral definida é um tipo bem especial de soma estamos somando todas essas coisas mas estamos usando o limite daquela soma onde esses de y ficando cada vez menores assim a gente vai ter uma quantidade cada vez maior desses discos entendeu conforme esses de y ficam infinitamente pequenos temos um número infinito desses discos então a nossa soma não somente se aproxima o volume ele realmente expressa o volume dessa figura no limite com esse de y indo para zero vamos lá para calcular o volume de tudo isso temos somente que calcular essa integral definida em termos de y e como nós podemos fazer isso qual vai ser o resultado disso bem podemos colocar o pé para fora da integral afinal de contas o pi é uma constante isso vezes a amt derivada de y que é somente y ao quadrado sobre dois calculado de 1 a 4 isso vai ser igual ap vezes calculando isso aqui em 4 teremos 16 / 2 mas deixe me inscrever de uma outra forma que a gente vai ter quatro elevada ao quadrado sobre dois - um elevado ao quadrado sobre dois agora a gente pode calcular isso aqui certo 4 elevada ao quadrado e 16 16 / 2 é 8 -1 elevada ao quadrado que é um sobre dois isso vai ser igual a 15 / 2 pe 15 / dois é igual a 7,5 para deixar isso aqui mais claro então isso seria igual a 7,5 vezes pi bem finalmente terminamos encontramos o volume ao rotacionar essa curva em relação ao eixo y algo que é bem legal de fazer