Método das cascas com duas funções de x

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Aqui nós temos um sólido de revolução cujo volume descobrimos na aula anterior, só que nós o calculamos utilizando o método do disco e o integrando em termos de y. O que vamos fazer nessa aula é calcular o volume desse mesmo sólido de revolução, mas dessa vez vamos utilizar o método da casca e vamos integrar com respeito a x. O que nós temos aqui é a região entre as curvas y igual à raiz quadrada de x e y igual a x². Nós vamos rotacioná-la ao redor da reta vertical x igual a 2 e vamos fazer isso no intervalo de rotação desse espaço entre essas duas curvas, ou seja, o intervalo quando a raiz quadrada de x é maior do que x². Isso quer dizer entre zero e 1. Ok, vamos tentar fazer isso com o método da casca. Para fazer isso, nós devemos construir uma casca (deixe-me colocar isso em uma cor diferente). Então imagine um retângulo aqui. A largura dele é dx e a sua altura é a diferença entre essas duas funções. Se eu colocar nesse desenho, vai ser algo parecido com isso, então é uma casca, como um cilindro oco. Seria parecido com isso, seria mais ou menos assim, e tem uma certa profundidade. É isso que dx nos dá, ou seja, a nossa profundidade vai ser mais ou menos assim, só para você ver que tem uma certa profundidade. Quando você rotaciona esse retângulo ao redor da reta x igual a 2, nós temos uma casca como essa. Agora vamos pensar em como descobrir o volume dessa casca. Nós já fizemos isso diversas vezes. A primeira coisa que temos que pensar é na circunferência do topo da casca, e nós sabemos que o comprimento da circunferência é 2πr. Por isso nós precisamos saber qual é o raio dessa casca, ou seja, qual é o valor dessa distância aqui. Bem, é a distância horizontal entre x igual a 2 e qualquer valor para x bem aqui, ou seja, vai ser 2 menos o nosso valor de x. Então esse raio vai ser 2 menos x. O comprimento da circunferência vai ser 2πr, então 2π vezes o raio, que é 2 menos x. Se quisermos saber a área da parte externa da nossa casca, essa área vai ser 2π que multiplica 2 menos x vezes a altura dessa casca. Mas quanto vale essa altura? Vai ser a distância vertical expressa como funções de y. Então vai ser o limite máximo, que é y igual à raiz quadrada de x e o limite mínimo é y igual a x², ou seja, vai ser a raiz quadrada de x menos x². Então vezes a raiz quadrada de x menos x². Se quiser calcular o volume disso aqui, você vai ter que usar 2π que multiplica 2 menos x que multiplica a raiz quadrada de x menos x², ou seja, isso aqui é a área da superfície externa de uma dessas cascas. Assim, se quisermos saber o volume dessa casca, nós temos que pegar esse 2π que multiplica 2 menos x que multiplica a raiz quadrada de x menos x², que é a área externa de uma dessas cascas, e devemos ter uma profundidade. Fazemos isso multiplicando por dx, mas isso é o volume de uma casca. Se quisermos saber para todos os valores de x nesse intervalo, nós devemos utilizar a integral e ter mais e mais cascas. E qual é o intervalo? É de zero até 1. Isso vai nos dar o volume dessa figura, que era o que queríamos, não é? Enfim, eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!