O método da arruela rotacionando em torno de uma reta vertical (não o eixo y), parte 2

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Utilizando o método do anel ou método da anilha nós vamos ser capazes de calcular o volume desse sólido de revolução. Então isso aqui é o volume, tudo isso aqui foi feito no vídeo anterior. Podemos colocar π em evidência e vamos ficar com π que multiplica a integral de zero a 1 disso aqui, que é um produto notável. Resolvendo, vamos ficar com 4 menos 4 que multiplica y² mais y⁴, ou seja, eu apliquei o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo e subtraímos isso por essa parte que, de novo, é um produto notável. Resolvendo, vamos ficar com 4 que multiplica -4 raiz de (y) mais y, já que isso aqui ao quadrado vai dar y, e ainda tem dy aqui fora. Vamos ficar com π, que multiplica a integral de zero a 1, e vamos ver se conseguimos simplificar isso. Veja bem: se fizermos a distributiva, vamos ficar com -4 e ele vai ser cancelado com esse 4 aqui. Também tem um y⁴, que é o maior termo que eu vou colocar aqui, tem esse -4y² que eu posso colocar aqui também, temos esse y positivo que multiplicado por esse -1 vai ficar negativo, então -y, e ainda tem esse -4 que multiplica a raiz quadrada de y que multiplica esse -1, ficando positivo, e vamos ficar com mais 4 que multiplica y elevado a ½, que é a mesma coisa que a raiz quadrada de y. Claro, eu fiz isso aqui para facilitar o cálculo da integral, e multiplicamos tudo isso por dy. Calculando essa integral, nós vamos ficar com π que multiplica a integral de y⁴ que dá y⁵ dividido por 5 menos a integral de 4y², que vai ser 4/3 de y³ menos a integral de y que vai ser y² sobre 2 mais a integral de 4 vezes y elevado a ½, que é 8/3 de y elevado a (3/2) e avaliamos isso de zero até 1. Como podemos fazer isso? Simples. Substituindo esse 1 no lugar do y e subtraindo pelo valor numérico de zero, mas se pegarmos o zero e substituirmos em cada um desses termos, essa expressão vai zerar. Portanto, só precisamos avaliar em 1, ou seja, vamos ficar com π que multiplica tudo isso aqui avaliado em 1. Se fizermos isso e já resolvemos, vamos ficar com 1/5 menos 4/3 menos 1/2 mais 8/3. Isso vai ser igual a π que multiplica isso. Podemos resolver achando o MMC desses denominadores, que dá 30, então dividimos isso por 30. 30 dividido por 5 dá 6, multiplicado por 1 dá 6, então 6 aqui e 30 dividido por 3 dá 10, vezes -4 vai dar -40, e 30 dividido por 2 dá 15, vezes -1 vai dar -15, e 30 dividido por 3 dá 10, vezes 8 vai dar 80. Assim vamos ficar com π que multiplica essa soma dividido por 30, que vai dar 31 vezes π, ou seja, 31π sobre 30 unidades de volume. Espero que as aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!