Integral definida da função deslocada

RKA10MP – Digamos que a gente conheça a área sob esta curva. Vamos chamar esta curva de "y" igual a f(x). Então, a gente sabe qual é a área delimitada abaixo da curva, acima do eixo "x" e entre “a” e “b”. Isso é o que a gente denomina como a integral definida de “a” até “b” de f(x) dx. E como a gente conhece este valor da área, vamos dizer, por exemplo, que esta área vale 5. Então, esta área é conhecida e vale 5, é o valor desta integral definida. E quero saber se, com essas informações, dado isso aqui, você consegue calcular para mim a integral de “a” mais uma constante, digamos, “C” até “b” mais “c” de f(x - c)dx. Inicialmente, isso pode até parecer um pouco assustador, pode até parecer complicado, mas sugiro que se você tem que escolher um valor de “c”, tente imaginar um valor para “c” e veja o que acontece com este gráfico desta função. Tente imaginar o que vai acontecer com o desenho desta função. Pause o vídeo agora e veja o que você consegue resolver a respeito disso. Assumindo que você já pensou a respeito, vamos discutir o que seria f(x - c). Essencialmente, f(x - c) é a função f(x) transladada, deslocada “c” para a direita. É como se a gente viesse aqui e pegasse todos os pontos da nossa curva de f(x) e as movimentasse para a direita por um valor “c”. Vou copiar este gráfico para a gente tentar enxergar isso, visualizar melhor. Digamos que a gente pegou o gráfico e andou “c” unidades para a direita. Então imagine isso. Vou colocar aqui este… esta curva se deslocou, este valor que ela se deslocou é “c”. A curva se deslocou. Este valor que ela se deslocou é “c”. Vamos escrever que esta curva… esta curva é “y” igual a f(x - c). Antes de se convencer que é uma translação, preste atenção, se a gente pegar "x" igual a zero e aplicar a função f(x), vai ficar f(0) e ela está batendo aqui em cima. Se eu tomar "x" igual a “c” e aplicar na função f(x) menos “c”, colocando "x" igual a “c”, vai ficar “c” menos “c”, que dá zero. Ou seja, vai dar f(0). Então se eu pegar o “c” aqui, este é “c”. Digamos que esteja por aqui. Se eu pegar este valor para “c” e aplicar "x" igual a “c” nesta função, você vai ver que o resultado vai dar aqui em cima, que é exatamente o mesmo valor da “f” aplicada no zero. Mas vamos lá, a gente tem que pensar agora nos nossos limites. A gente estava trabalhando entre “a” e “b”, a nossa integral, e agora a gente vai trabalhar entre “a” mais “c” até “b” mais “c”. Vou tentar desenhar isso. Vou começar por “a” mais “c”, vou pegar “a” e somar com “c”… Digamos que aqui é “a” mais “c”. E aí a gente vai fazer a mesma coisa com o “b”, vamos andar mais “c”. A gente vai “c” para a direita a partir do “b”. Então, a gente vai ter “b” mais “c”. E como a gente está interessado em calcular a integral definida de ”a” mais “c” até ”b” mais “c” de f(x - c)dx, o que a gente quer calcular é a área abaixo desta curva f(x - c), acima do eixo "x" e limitada agora por estes dois novos valores: “a + c” e “b + c”. Vamos fazer o desenho disso. Vou usar a mesma cor amarela para ficar mais fácil para a gente enxergar. Então, o que a gente quer fazer é calcular a área desta nova região. A gente quer calcular a área desta nova região. Estamos interessados em quanto dá a área disso aqui. Você já viu que se a gente deslocou a figura, o gráfico da função para a direita, se a gente deslocou os limites para a direita, todos eles foram deslocados por “c”, a gente já pode concluir que se conhecemos a área desta região que simplesmente foi deslocada para a direita, a área aqui vai ser a mesma, portanto a gente pode escrever… vou só colocar outra cor. A gente pode escrever que a integral que queremos calcular vai ser igual à integral de “a” até “b” de f(x) dx, o que, neste caso, a gente falou que deu 5. Mas esse é um artifício muito útil para você. Às vezes você se depara com uma situação dessas em uma competição de matemática ou em uma prova muito difícil, e você fala: mas como vou resolver um negócio desses? E é só perceber que isso nada mais é do que deslocar isso, transladar isso para a direita, portanto, eles vão ter exatamente o mesmo valor.