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Exemplos utilizando propriedades da integração

Veja como algumas propriedades das integrais podem ser usadas.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Temos aqui o gráfico da função de y = eˣ. Vou escrever aqui para ficar mais claro. Este é o gráfico de y = eˣ. Este é o eixo "x", este é o eixo "y". Esta área azul, nós podemos interpretar como sendo a integral definida entre zero e 1 de eˣ dx. No futuro, nós aprenderemos como calcular esse número, mas agora vamos dizer que sabemos que o valor desta área é igual a e - 1. Tendo isso em conta, temos estas outras três integrais definidas aqui. Eu encorajo você a pausar este vídeo e tentar calcular estas três integrais definidas usando apenas estas informações e o que nós já sabemos sobre as propriedades das integrais definidas. Eu vou considerar que você já tentou. Você deve ter calculado eˣ + 2, pode ter ficado tentado a decompor isto em um intervalo de 1 a 1 de eˣ dx, mais a integral no intervalo de 1 a 1 de 2dx. Mas você tem que se lembrar: se temos uma integral definida com os limites iguais, essa é uma integral definida de 1 a 1 e isso será zero. Isto vai ser igual a zero. você pode visualizar como se estivesse buscando a área de algo que não tem largura. Você não está se movendo, você não tem a largura ao longo do eixo "x". Isso foi bem simples e direto: no intervalo de 1 a 1, a área vai ser zero. Agora vamos pensar neste. Aqui, os limites são diferentes. São iguais a estes. Isso dá uma pista que, se eu pudesse parar um pouco, especialmente se um destes está na forma de eˣ, eu possa ser capaz de calcular esta integral definida. Vamos fazer isso. Primeiramente, eu posso separar isto como a integral definida no intervalo de zero a 1 de 3dx, somada à integral definida no intervalo de zero a 1 de -eˣ dx. Eu posso pegar o negativo, que é apenas um sinal negativo. Já vimos que podemos tirar esse valor da integral, então, fazemos isso. Isso é o mesmo que a integral entre zero e 1 de 3dx, menos a integral entre zero e 1 de eˣ dx. A nossa sorte é que já sabemos qual é o resultado disto. O resultado disto é igual a e - 1. Então, se você subtrair e - 1, vai ter... Eu vou escrever aqui para não ficar confuso. Vamos subtrair e - 1. Qual vai ser o resultado? A integral definida entre zero e 1 de 3dx. Nós podemos fazer um gráfico para visualizar isto. Nós iremos do zero até o 1 e a função está em 1, 2, 3. Eu não fazendo em escala, a função irá se parecer com isto. Isto bem aqui, esta área sob a função f(x) igual a 3 no intervalo de zero a 1. Então, quanto dá esta área? A largura é 1 e a altura é 3. O resultado deste cálculo será 1 vezes 3, que dá 3. Então, isto você ligou a 3 e você vai ter -e - 1. Vamos distribuir o sinal, e então ficaria -e + 1. Ficaria 3 + 1, isso dá 4. 4 positivo. +4 - e. Agora somos capazes de resolver, ou melhor, de calcular, ou ainda, encontrar o valor desta integral definida, usando apenas as propriedades das integrais definidas. E o que fazer com este? Este é bem interessante. Eu tenho limites diferentes aqui. Integral definida no limite de 2 a 3, com eˣ ⁻ ². Quando temos algo assim, especialmente quando tentamos calcular apenas com as propriedades das integrais, a grande sacada aqui é que eˣ ⁻ ² é a versão deslocada de eˣ. Deslocada por 2 para a direita. Vou desenhar isso aqui. Em vez do ponto estar ali, ele vai estar aqui. E a curva vai ser... Eu acho que a curva vai ser assim. Eu estou me esforçando ao máximo com este desenho. Isso vai ficar aqui, deste jeito. Eu estou dando o meu melhor para deslocar isto. Cada um destes vai ser deslocado para a direita, desta forma. Isto é eˣ ⁻ ². Entre 2 e 3, e quais serão os limites agora? Os limites estão entre 2 e 3. Então, iremos deste ponto até o 3. Vai estar bem aqui. É só pegar este ponto aqui e mover 1 e 2. Vai chegar bem aqui. E o que acabamos de fazer? Nós estamos tentando pensar sobre esta área. Nós deslocamos a curva para a direita por 2. Esta é a curva de eˣ ⁻ ² e deslocamos o intervalo sobre o qual estamos tentando localizar a área, deslocando isto por 2. Isto vai ser exatamente a mesma área, deslocada para a direita por 2. Esta área também vai ser e -1. Apesar de ser um pouco mais complicado, você deve perceber que isto é apenas a versão deslocada daquilo ali e que também deslocamos os limites para a direita, como nós já vimos em um vídeo sobre propriedades das integrais.