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Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites

Transcrição de vídeo

vamos ver se podemos encontrar derivada dessa expressão bem aqui se podemos encontrar a função de fmx e novamente parece que será possível usar do teorema fundamental do cálculo uma grande dica que você está calculando derivada de uma integral definida que lhe dá uma função de x mas aqui eu tenho x limite superior inferior e o teorema fundamental do cálculo é pelo menos pelo que nós já vimos é quando nós temos x apenas no limite superior e aí claro 1 x o quadrado mas já vimos exemplos disso quando usamos a regra da cadeia então como podemos deixar isso parecido com o que estamos familiarizados para aplicar o teorema fundamental do cálculo e para perceber isso nós apenas precisamos tentar fazer um gráfico do que isso representa então vamos dizer que esta é a nossa letra minúscula fdx ou deveria dizer efe dt então vamos escrever isso aqui então vamos representá lo através do intervalo entre xx o quadrado então digamos que esse é o meu eixo y este é meu eixo t digamos que isso bem aqui é y igual efe dt eu estou dizendo isso de uma forma geral porque não sei como esse padece nós vamos falar sobre o intervalo entre xx seu quadrado se vamos falar sobre intervalo entre x o qual está bem aqui no limite inferior e x o quadrado bom limite inferior para entregar definida nós não temos certeza depende do x escolher e qual deles é menor mas vamos dizer que pelo bem da visualização vamos desenhar o x bem aqui e desenhar o x ao quadrado bem aqui então toda essa expressão todas a integral definida está essencialmente representando toda essa área abaixo da curva mas o que nós podemos fazer é introduzir uma constante que está em algum lugar entre xx o quadrado digamos que o constante s e vai dividir essa área em duas áreas diferentes então toda essa mesma área pode ser reescrita como duas integrais separadas uma integral que representa essa área bem aqui e outra integral que representa essa área bem aqui e como nós falamos será uma constante entre xx o quadrado e como nós podemos achar essas áreas borda total vai ser a soma dessas duas áreas então vamos lá olha roxa nós podemos demonstrar como integral definida de x até ser de nossa função que é cosseno de ter sobre te de t então vamos adicionar inverde para temos a área original então olhem verde o nosso limite inferior é ser o nosso limite superior é x o quadrado de cosseno dt sobre ops sobre t dt e essa é forma onde se soubermos aplicar a regra da cadeia podemos aplicar do teorema fundamental do cálculo e estamos acostumados a ver isso de x é o limite superior e bem nós já sabemos o que acontece podemos trocar esses limites mas isso seria negativa das integral então isso será igual a negativa da integral definido descer para x do conselho de ter sobre t dt e aí temos mais integral definida que vai descer até x ao quadrado de cosseno de ter sobre ter de te então tudo o que fizemos foi escrever isto do modo que estamos acostumados aplicado o teorema fundamental do cálculo então se queremos encontrar a função é filhinho de x bem aplicando operador deliberativo bem aqui nós teremos um negativo na frente será igual à negativo você no the x sobre x novamente apenas teorema fundamental do cálculo e aí a edição nos primeiros vamos pegar a derivada disso relacionado à x ao quadrado e isso te dá cosseno dx ao quadrado sobre x ao quadrado sempre que você pergunte você substitui por 1 x 1 quadrado e aí você vai multiplicar isso pela derivada de x o quadrado relacionando com x isso será apenas a derivada de x o quadrado em relação à x que apenas 2 x 1 agora só precisamos simplificar isso então tudo será igual a menos cosseno dx sobre x mas bem isso daqui cancela com isso então mais cosseno de x2 cosseno dx o quadrado sobre x e acho que poderiam simplificar mais ainda então sendo igual a nós podemos substituir tudo sobre x 2 cosseno dx ao quadrado - cosseno de x e acabamos