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Exemplo resolvido: cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo

Transcrição de vídeo

aqui nós temos uma função f maiúsculo de x em que essa função é igual a integral definida com os limites de integração medo de piá x dessa função cotão gente ao quadrado de t de t o que nós vamos fazer aqui é calcular a derivada dessa função e para calcular derivada dessa função nós podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo então por exemplo se a gente quer calcular derivada é fininho de xix isso vai ser igual à de elevada em relação à x dessa função já que fx é igual a essa integral não é então é derivada de fdx vai ser derivada dessa integral então a gente pode até pegar copiar toda essa expressão aqui e colocar aqui na frente desse jeito já que nós queremos de levar tudo isso em relação à x como eu falei embora pareça ser uma coisa difícil todas as vezes que a gente quer calcular derivada de uma integral basta utilizar o teorema fundamental do cálculo e o teorema fundamental do cálculo diz que a derivada dessa integral vai ser igual a gente pegar essa função zinha que de dentro ou seja a função efe dt e avaliar no ponto x então te vai ser igual a xis aqui nesse caso então nós vamos ter que tudo isso é derivada dessa integral vai ser igual a cotão gente ao quadrado de x então esse daqui é o resultado da derivada dessa função então sempre que você quiser calcular derivado de uma integral basta utilizar o teorema fundamental do cálculo saque algo bem simples de ser feito mas vamos complicar um pouco mais essas idéias aqui vamos supor agora que a gente queira calcular integral da mesma função como tangente ao quadrado de t de t mas agora os limites de integração vão dp até x ao quadrado e não x vamos supor novamente que a gente queira calcular derivada dessa integrado gente vai pegar aqui calculá a derivada em relação à x dessa integral olha você pode falar isso é difícil demais não é mas não é a gente também vai poder utilizar o teorema fundamental o cálculo aqui lembrando que essa integral aqui não é fdx f maiúsculo dx não é igual a integrar o diga tangente ao quadrado de tdt indo de pizza x utilizando teorema fundamental do cálculo nós vamos ter a mesma coisa que nós vamos ter uma função maiúsculo efe só que ao invés de x vai ser esse xis ao quadrado aqui então nós vamos ter efe maiúsculo dx ao quadrado e o que a gente quer fazer calcular derivada dessa função em relação à x ok como é que a gente consegue calcular derivada dessa função aplicando a regra da cadeia a gente vai derivar a função de fora em relação à x ao quadrado e vai derivar a função de dentro em relação à x então vamos lá calculando essa derivada que de fora em relação à x ao quadrado claro e vamos multiplicar pela derivada da função de dentro da gente vai multiplicar pela derivado em relação à x da função de dentro ea x ao quadrado mas qual vai ser a derivada da função de fora já não mostrei que é derivada dessa função aqui não é igual a otan diante ao quadrado de xis como fdx é igual a integral decotão gente ao quadrado de tv e aqui a gente ainda tem uma curta gente ao quadrado de ter tendo uma única diferença é que no lugar do x a gente tem um x ao quadrado aqui a gente vai ter a mesma coisa derivada df linha de x ao quadrado conforme a gente calculou aki vai ser igual a quanta gente é o quadrado de x ao quadrado então isso aqui é derivada de se f maiúsculo vai ser co tangente ao quadrado de x ao quadrado e isso vezes a derivada de x ao quadrado em relação à x que é 2x utilizando a regra da potência então isso aki vai ser igual a 2 x vezes a cotan gente ao quadrado de x ao quadrado então note que por mais complicado que seja quando a gente quiser calcular derivada de uma função que a gente não vai precisar calcular ante derivada avaliar derivada nos dois pontos para depois calcular a derivada não basta utilizar o teorema fundamental do cálculo e conseguir fazer de uma forma muito simples até mesmo quando tiver uma complicação lembrando que quando a gente tivesse limite de integração superior aqui basta calcular tranquilamente é que o teorema fundamental do cálculo a aplicar a regra da cadeia caso seja o caso ou algumas outras regras necessárias para cálculo de derivada e no lugar do xis aqui que a gente tinha anteriormente a gente vai colocar o x ao quadrado ou qualquer outro valor que a gente tem aqui beleza