Introdução a integrais impróprias

RKA1JV - O que eu quero desvendar, neste vídeo, é a área embaixo da curva "y = 1/x²", com "x" igual a 1 como nosso limite inferior. Não tem um limite superior, então mantendo ao infinito. É essencial que "x" se aproxime ao infinito, assim, eu quero calcular qual é essa área total. Uma maneira é indicar como uma integral indefinida imprópria ou uma integral imprópria. Vamos simbolizar como 1 sendo o limite inferior, mas nós continuaremos até o infinito como o nosso limite superior. Então, o limite superior infinito, vamos pegar a integral de 1 sobre x², dx. Para que fique claro, isso aqui é uma integral imprópria. Agora, como podemos lidar com isso? Por definição, isso é o mesmo que o limite quando "n" se aproxima ao infinito, de uma integral de 1 até "n", e 1 sobre x². Então, 1 sobre x² dx. Isso é bom, porque nós sabemos como calcular isso, apenas é preciso definir a integral onde a fronteira superior é "n". E assim saberemos como definir os limites. Podemos definir qual é o limite quando "n" se aproxima ao infinito. Vamos descobrir se podemos realmente estimar isso. Vamos usar aqui o segundo teorema fundamental do cálculo. Mas antes vou reescrever essa parte aqui do limite, então, essa parte, eu vou escrever dessa forma. O limite de "n" se aproximando ao infinito, de, vamos usar o segundo teorema fundamental do cálculo. Então, ao estimar a antiderivada de 1 sobre x² ou x⁻², portanto antiderivada de x⁻² é -x⁻¹. Isso seria a mesma coisa que -x⁻¹ ou -1 sobre "x". Portanto, -1 sobre "x" é uma antiderivada. Agora, vamos calcular em "n" e calcular em 1. Isso será igual ao limite quando "n" se aproxima do infinito, então, vamos ver se nós calculamos isso com "n". Teremos -1 sobre "n". A partir disso, nós vamos subtrair o que calculamos utilizando 1. Então, será -1 sobre 1, ou seja, -1. Essa parte aqui é igual a -1. Agora vamos encontrar o limite quando "n" tende ao infinito para isso aqui. Essa parte aqui é igual a essa outra, ainda não encontrei o limite. Assim, isso será igual ao limite quando "n" tende ao infinito, de, vamos ver, isso aqui é 1 positivo, podemos escrever -1 sobre "n", de 1 menos 1 sobre "n". Para nossa sorte, esse limite realmente existe. Então, no limite, quando "n" se aproxima do infinito, esse termo estaria cada vez mais próximo de zero. 1 sobre infinito, você pode simplesmente ver como zero, então, isso será igual a 1, o que é bem claro. Aqui temos essa área que não tem o limite, isso continua para sempre, mas continuamos a ter uma área finita. E essa área é exatamente igual a 1, então, nesse caso, temos uma integral imprópria. Porque, na verdade, somos capazes de calcular e encontrar o número que o limite realmente existiu. Dizemos que esta integral imprópria é convergente, então se, por qualquer razão, isso não tivesse limites, não poderíamos achar algum número finito aqui. Se essa área é infinita, podemos dizer que é divergente, então, aqui nós descobrimos algo de forma clara. Essa área é exatamente igual a 1.